[几何] 焦点三角形角平分线有关的椭圆离心率问题

敬畏数学

已知$ F_1， F_2 $为椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点（异于左右顶点），$ PM$平分角$ F_1PF_2 $（M为平分线与X轴交点）, 且$ 2|PM|^2=|PF_1| |PF_2|$，则椭圆的离心率______。

荣昌乔治

选填  直接特殊值
不妨p为上顶点
2 b平方＝a平方
e＝
二分之根号二

kuing

角平分线长公式 `w_a=\dfrac{\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}{b+c}` 套一下就行了吧（此式中的 `a` 不是题目的 `a`）

敬畏数学

在高手启发下想到：三角形角平分线向量表示：$ \vv{PM}=\dfrac{|PF_2|}{|PF_1|+|PF_2|}\vv{PF_1}+\dfrac{|PF_1|}{|PF_1|+|PF_2|}\vv{PF_2}$，从而导出三角形角平分线长公式！