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本帖最后由 业余的业余 于 2019-10-13 09:22 编辑

观察可知,$x_n>1$ 对所有 $n$ 都成立。

考察函数 $f(x)=\cfrac {x^2}{1+\ln x}$, 有
$f'(x)=\cfrac{2x(1+\ln x)-x^2\frac 1x}{(1+\ln x)^2}=\cfrac{x+2x\ln x}{(1+\ln x)^2}$,
显然当 $x\ge 1$ 时 $f'(x)>0$ 恒成立。

由数列的递推关系,有 $x_{n+1}-x_n=\ln\left( \cfrac {1+f(x_n)}{1+f(x_{n-1})}\right)$

所以,$x_n>x_{n-1} \implies f(x_n)>f(x_{n-1}) \implies \cfrac {1+f(x_n)}{1+f(x_{n-1})}>1 \implies x_{n+1}>x_n$, 去掉中间的推理环节,这个式子告诉我们,如果 $x_n>x_{n-1}$ 则 $x_{n+1}>x_n$. 同样的推理适用于当 $x_n<x_{n-1}$ 的情形。由归纳法易证,数列$\{x_n\}$ 或者单调递增,或者单调递减,总之是单调的。

现证明 $\{x_n\}$ 有上界。一个笨办法是考察 数列递推式右边同形的函数 (把 $x_n$ 用 $x$ 替换)的单调性。只需考虑数列递增的情形,则会限制 $a$只能取到某个小的值,比如不大于 $100$,那么 $x_2<1+\ln(1+10000)<10<100$, 从而 $x_3<100, \cdots, x_n<100$. 期待不等式高手贡献简明的证法。

综上,数列收敛。不妨记其极限为 $b$, 于是有

$b=1+\ln(1+\frac {b^2}{1+\ln b})$

不会解。

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