免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[不等式] 两道求最小值题

两道求最小值题:
1.设正实数$a,b,c$满足$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{2c^2}{a+b}+c=2$,求$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c+1}$的最小值。
2.已知两定点$A(-1,0),B(1,2)$,$M$是圆$O:x^2+y^2=3$上的动点,求$\sqrt{3}|MA|+|MB|$的最小值。
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

第二题明显就是阿氏圆啊,论坛上都出现过这么多次了,怎么一点都学不到???

TOP

回复 2# kuing
没用过,所以也不会搞,唉

TOP

回复 3# lemondian

x 轴上会有一点 C 使得 `MC:MA` 为定值,你自己尝试找一下这个点在哪里,以及定值是多少。

TOP

第一题感觉是个坑,要撸出来似乎只能作各种猜猜猜,不但要猜取等,还要猜命题思路等等,然后就是凑,所以下面的解法用一般的正面思维去看是难以理解的。

对已知等式两边加 `5(a+b+c)` 得
\begin{align*}
&\left( \frac{a^2}{b+c}+2a+b+c \right)+\left( \frac{b^2}{c+a}+2b+c+a \right)\\
&+\left( \frac{2c^2}{a+b}+4c+2a+2b \right)=2+5(a+b+c),
\end{align*}即
\[(a+b+c)^2\left( \frac1{b+c}+\frac1{c+a}+\frac2{a+b} \right)=2+5(a+b+c),\]对左边使用柯西,得
\[2+5(a+b+c)\geqslant(a+b+c)^2\frac{\bigl( 1+1+\sqrt2 \bigr)^2}{2(a+b+c)}=\bigl( 3+2\sqrt2 \bigr)(a+b+c),\]得到
\[a+b+c\leqslant\frac1{\sqrt2-1}=\sqrt2+1,\]再对所求式用柯西,得
\[\frac1a+\frac1b+\frac2{c+1}\geqslant\frac{\bigl( 1+1+\sqrt2 \bigr)^2}{a+b+c+1}\geqslant\frac{\bigl( 1+1+\sqrt2 \bigr)^2}{\sqrt2+2}=2+\sqrt2,\]当 `a=b=1`, `c=\sqrt2-1` 时等号成立,所以这就是最小值。

TOP

回复 4# kuing
人好少,都去度假了?
趁着今天有空,学习了一下阿氏圆,做了一下这个题:
100401.jpg
2019-10-4 22:16

取点$C(-3,0)$,如图,$\sqrt{3}|MA|+|MB|=|MC|+|MB|\geqslant |BC|$,当$B,M,C$共线时,最小值为$|BC|=2\sqrt{5}$.
取等条件好象不好看:$(\dfrac{-3+2\sqrt{6}}{5},\dfrac{12+2\sqrt{6}}{5})或(\dfrac{-3-2\sqrt{6}}{5},\dfrac{12-2\sqrt{6}}{5})$。
@kunig,第一次做这个,不知对不对?

TOP

回复 6# lemondian

取等我没算,其实也不用算,只需证明线段BC与圆相交就行。

TOP

返回列表 回复 发帖