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[不等式] 都说是偏移的最基础题目 还没开窍

本帖最后由 facebooker 于 2022-5-12 15:14 编辑

1)$x>1$
求证:
\begin{align*}
\ln x>\dfrac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}
\end{align*}
2)求证:
\begin{align*}
\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{1}{3}(2\sqrt{ab}+\dfrac{a+b}{2}),a,b>0,a \not=b.
\end{align*}
第二个是对数平均小于海伦平均 根据这个式子得到第一个式子
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两个问题是等价的啊
\begin{align*}
(2)&\iff\frac{\frac ab-1}{\ln\frac ab}<\frac13\left( 2\sqrt{\frac ab}+\frac{\frac ab+1}2 \right)\\
&\iff\frac{x^2-1}{2\ln x}<\frac13\left( 2x+\frac{x^2+1}2 \right)\\
&\iff(1)
\end{align*}
PS、单行的行间公式用
  1. \[ ... \]
复制代码
即可,无需 align* 环境,多行的才需要。

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当x的1的时候两边相等。求导通分后要么可以因式分解要么恒大与o,这里是前者,找到根之后就简单了,不过我一直很好奇这里东西是怎么被命题者发现的,是研究其他问题恰巧发现还是什么?

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