[不等式] 一道小菜 但是还是吃不动

facebooker

对于$x\in [ 1,+\infty)$
\begin{align*}
prove:\dfrac{1}{x}+\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\leqslant 0
\end{align*}

kuing

好像没啥意思啊……
\begin{align*}
\LHS&=\frac1x+\frac2{\sqrt{(1+1)(1+x)}}-\frac2{\sqrt x}\\
&\leqslant\frac1x+\frac2{1+\sqrt x}-\frac2{\sqrt x}\\
&=\frac{1-\sqrt x}{x+x\sqrt x}\\
&\leqslant0.
\end{align*}

facebooker

回复 2# kuing

多谢！

hbghlyj

回复 2# kuing
也可以这样做：
变成$\frac{{1 - 2\sqrt {\text{x}} }}{{\text{x}}} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {1 + x} }}$，所以单调递减，x=1时值为0，所以<=0