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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 数列不等式一题
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hongxian
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发表于 2013-7-21 19:51
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只看该作者
[数列]
数列不等式一题
已知数列:\(a_0,a_1,\cdots,a_n\)满足\(a_0=\dfrac12,a_{k+1}=a_k+\dfrac1na_k^2\) \((k=0,1,\cdots,n-1)\)
求证:\(1-\dfrac1n<a_n<1\)
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发表于 2013-7-21 20:46
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只看该作者
似曾相识的说
而且以前见过的题好像是用函数零点来导出那个递推的,翻翻贴子先
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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hongxian
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发表于 2013-7-21 20:50
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只看该作者
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kuing
不能直接数归,怕是要加强,只是怎样加强不太会了!
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发表于 2013-7-21 20:51
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只看该作者
我记错了……
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发表于 2013-7-21 23:34
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只看该作者
右边比较简单,先证了它。显然 $a_n$ 递增,故
\[a_{k+1}=a_k+\frac1na_k^2<a_k+\frac1na_ka_{k+1},\]
得到
\[\frac1{a_k}<\frac1{a_{k+1}}+\frac1n,\]
让 $k$ 取 $0$ 到 $n-1$ 求和得
\[\frac1{a_0}<\frac1{a_n}+1,\]
即得
\[a_n<1.\]
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hongxian
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发表于 2013-7-22 19:22
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本帖最后由 hongxian 于 2013-7-22 21:54 编辑
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5#
kuing
沿这个路走下去应该可以了
\(\because a_{k+1}=a_k+\dfrac1na_k^2\)
\(\therefore \dfrac{1}{a_{k+1}}=\dfrac{1}{a_k}-\dfrac{1}{a_k+n}\)
\(\therefore \dfrac{1}{a_{k+1}}-\dfrac{1}{a_k}=-\dfrac{1}{a_k+n}<\dfrac{-1}{n+1}\)
\(\therefore \dfrac{1}{a_n}=\left(\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_{n-1}}\right)+\left(\dfrac{1}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_{n-2}}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_0}\right)+\dfrac{1}{a_0}\)
\(\therefore\dfrac{1}{a_n}<\dfrac{-n}{n+1}+2=\dfrac{n+2}{n+1}\)
\(a_n>\dfrac{n+1}{n+2}=1-\dfrac{1}{n+2}>1-\dfrac1n\)
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发表于 2013-7-22 20:13
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6#
hongxian
嗯应该可以了,好像还强了些
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其妙
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发表于 2013-7-23 21:17
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老题?
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realnumber
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发表于 2013-11-18 14:19
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本帖最后由 realnumber 于 2013-11-18 14:26 编辑
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8#
其妙
应该很老,以前在k12数学论坛 听网友说是“1980年匈牙利等四国联合竞赛”,6楼的结果似乎比那网友转述的还要好.
可能是这篇,我没法下
http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-ZXJI198202012.htm
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