回复 3# isee
由 `1/\sqrt{(x+1)^2-1}` 下凸只能得出
\[LHS\geqslant\frac2{\sqrt{\bigl(\frac{a+b}2+1\bigr)^2-1}},\]用它无法证明原不等式;
而由 `1/\sqrt{(e^x+1)^2-1}` 下凸则有
\[\frac1{\sqrt{(e^x+1)^2-1}}+\frac1{\sqrt{(e^y+1)^2-1}}\geqslant\frac2{\sqrt{(e^{(x+y)/2}+1)^2-1}}=\frac2{\sqrt{\bigl(\sqrt{e^xe^y}+1\bigr)^2-1}},\]也就是
\[LHS\geqslant\frac2{\sqrt{\bigl(\sqrt{ab}+1\bigr)^2-1}},\]很明显,它比前者强。 |