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[组合] 符号多项式等幂项系数中项的种数

本帖最后由 青青子衿 于 2019-9-16 16:45 编辑

一些互异的组合由\(\,a_0\,\),\(\,a_1\,\),\(\,\cdots\,\),\(\,a_n\,\)所构成且被包括在\(\,(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n)^p\,\)展开后\(\,x^\mu\,\)的系数中,
另一些互异的组合由\(\,b_0\,\),\(\,b_1\,\),\(\,\cdots\,\),\(\,b_p\,\)所构成且被包括在\(\,(b_0+b_1x+\cdots+b_px^p)^n\,\)展开后\(\,x^\mu\,\)的系数中。
前者互异组合的数目与后者互异组合的数目一样多。
...
  1. Length /@ MonomialList[CoefficientList[(a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^4, x]]
  2. Length /@ MonomialList[CoefficientList[(a + b*x + c*x^2 + d*x^3 + e*x^4)^3, x]]
复制代码
...
【MMA代码附注】若不用MonomialList命令而直接使用Length /@的话,单项式的项数不会计为1。
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回附注:哦,就是说 Length[x y z] 是 3,Length[x y z + 1] 是 2……

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哦,其实这个就是整数拆分的一种性质。

比如,(a + b*x + c*x^2 + d*x^3)^4 的 x^7 的系数有多少项?因为
7 = 3 + 3 + 1
= 3 + 2 + 2
= 3 + 2 + 1 + 1
= 2 + 2 + 2 + 1
可知有 4 项,这是有限制的拆分:
每一个数字不超过 3,数字的个数不超过 4。

而对于 (a + b*x + c*x^2 + d*x^3 + e*x^4)^3 的 x^7 的系数的项数,限制就变成:
每一个数字不超过 4,数字的个数不超过 3,结果是
7 = 3 + 2 + 2
= 3 + 3 + 1
= 4 + 2 + 1
= 4 + 3
一样是 4 项。

楼主的问题就是要证明在一般情况下这两种拆分的数目一定是相同的,即:
若用 `P(n,a,b)` 表示 `n` 的有限制拆分数目,限制是:每一个数字不超过 `a`,数字的个数不超过 `b`。则恒有 `P(n,a,b)=P(n,b,a)`。

这其实有个很直观的证明,还是拿上面的例子来讲:
将 7 = 3 + 2 + 1 + 1 画成下面这样
$\square\square\square$
$\square\square$
$\square$
$\square$
那么从竖直方向来看,这又可以看成是 7 = 4 + 2 + 1,正是另一种限制下的拆分。
而两种拆分的限制在图上的表现都是一样的:格子都不会超出 `3\times4` 的范围,因此每一种拆分都可以这样两面看,所以就一一对应了。

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