[不等式] 中秋快乐！分式不等式

力工

已知正数$a,b,c$且$abc=1$，求证：$\Sigma\frac{a^2}{2a^3+b^3+c^3}\leqslant \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{4}$
祝各位中秋快乐！吃饼玩题.

色k

多松的不等式，你看看这放缩的尺度：
\begin{align*}
\sum\frac{a^2}{2a^3+b^3+c^3}
&\leqslant\sum\frac{a^2}4\left( \frac1{a^3+b^3}+\frac1{a^3+c^3} \right)\\
&=\frac14\sum\frac{a^2+b^2}{a^3+b^3}\\
&\leqslant\frac14\sum\frac2{a+b}\\
&\leqslant\frac14\sum\frac1{\sqrt{ab}}\\
&=\frac{\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c}4
\end{align*}