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[数论] 将正整数$n$拆为连续正整数之和,要如何拆?

如题,将正整数$n$拆为连续正整数之和,有多少种拆法?要如何拆?
感觉和$n$的一类约数的数量有关,但不知怎么证明。
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连续正整数依次是m,m+1,...,m+t-1,其中m,t都是正整数.
2n=t(2m+t-1),问题就是给定n,有几组解(t,m)
比如n=1,解只能是(1,1),
n=2,全部解是(1,2)
n=3,(1,3),(2,1)
n=4,(1,4)
n=12,(1,12),(3,3),不知道怎么做下去了

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本帖最后由 青青子衿 于 2019-9-9 09:28 编辑

应该是要解出这个二次不定方程。
\( \dfrac{(2a+k-1)\,k}{2} =n \)
下面的代码是去掉平凡解后剩下的情形。
Table[Solve[(k (2 a + k - 1))/2 == nn && k > 1 && a > 0, {a, k},
   Integers], {nn, 1, 22}] // Column
感觉这个解与\(n\)除某数所得结果有关。
9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 100
18 + 19 + 20 + 21 + 22 = 100

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回复 3# 青青子衿

应该是和$n$的正的奇约数有关,我试了几个都是这样,例如$100=2^2\cdot5^2$,有$2+1=3$个正的奇约数,就有$3-1$个解。$21=3\cdot7$,有$(1+1)(1+1)=4$个正的奇约数,就有$4-1$个解。试了3楼几个例子都是这样,能不能证明呢?

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本帖最后由 青青子衿 于 2019-9-26 10:58 编辑

回复 4# abababa
这个结论是正确的。
任意整数表为相继整数之和的方法数同它的奇因子个数一样多。(这种计数是将自身也算上的)
参见《History of the Theory of Numbers, Volume II Diophantine Analysis》第139页。

在Oeis上,有奇因子个数序列
A001227
Number of odd divisors of n.
Also number of partitions of n into consecutive positive integers
including the trivial partition of length 1
(e.g., 9 = 2+3+4 or 4+5 or 9 so a(9)=3).
(Useful for cribbage players.)

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