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[数论] 将正整数$n$拆为两两互异的正整数之和,使积最大。

本帖最后由 abababa 于 2019-9-9 18:43 编辑

如题,将正整数$n$拆为两两互异的正整数之和,使拆分后的数的乘积最大,要怎么拆并证明?

我是以$2$为首项作一个公差为$1$的等差数列,$A=2+3+\cdots+k$,如果$A<n$,那再加上$k+1$,直到$A\ge n$。
如果$A=n$,那就拆为$2+\cdots+k$,如果$A>n$,去掉$2+\cdots+k$中的数$A-n$。
感觉这个就是积最大的,但要怎么证明?

补充一下,如果$A=n-1$,这时应该把差的$1$加到最大的数上,让序列变成$2+\cdots+(k-1)+(k+1)$。
如果$A=n+1$,那应该把$2$去掉,最大的数再加$1$。例如$n=8$,$A=n+1=2+3+4$,应该去掉$2$,把$4$加$1$。可行的拆分是$(1,2,5),(1,3,4),(2,6),(3,5)$,显然是$(3,5)$最大。
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回复 2# realnumber

$30=(2+3+4+5+6+7+8)-5=(2+3+4+5+6+9)$

为什么$30$要拆成$2+3+4+6+7+8$,不拆成$2+3+4+5+6+9$或其它形式?为什么略过的数必须是连续正整数之和与$30$的差$5$?略过其它数不行吗?
楼上的第3条,为什么必须拆出$3$来,略过$3$不行吗?以下用括号表示里面的数的积:得证明$(2,3,m-5)>(2,4,m-6)$,但对于$m \ge 9$这就不成立,因为这时它要继续拆分才行,就得证明下一个不等式$(2,3,4,m-9)>(2,4,5,m-11)和(2,4,6,m-12)$等等。

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