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[几何] 圆与抛物线相切

在平面直角坐标系$xOy$中,圆$M$与抛物线$C:y^2=4x$恰有一个公共点,且圆$M$与$x$轴相切于$C$的焦点$F$。求圆$M$的半径。
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QQ截图20190908141414.png
2019-9-8 14:14

如图,因圆与抛物线切于 `P`,故 `PM` 为法线,则由光学性质知 `PM` 平分 `\angle HPF`,即 `\angle HPM=\angle MPF=\angle MFP`,而这三个角之和为 $90\du$,可见它们均为 $30\du$,于是 `PH=PF/2`,故 `2=PH+PG=PF/2+PF`,得 `PF=4/3`,从而 `PM=PF/\sqrt3=4\sqrt3/9`。
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回复 2# kuing
好方法!

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问题1:在平面直角坐标系$xOy$中,圆$M$与椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$恰有一个公共点,且圆$M$与$x$轴相切于$C$的焦点$F$。求圆$M$的半径。
问题2:在平面直角坐标系$xOy$中,圆$M$与双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$恰有一个公共点,且圆$M$与$x$轴相切于$C$的焦点$F$。求圆$M$的半径。

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回复 4# lemondian
沉了...

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回复 5# lemondian

因为上面的几何方法难以移植下来,我试过代数方法,结果也不好看,就懒得码了

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回复 6# kuing
想要解答,解析法也好呀

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回复 7# lemondian

给你看看结果:椭圆的情况,所求半径为
\[\sqrt{\frac{-27a^4+36a^2b^2-8b^4+a\sqrt{(9a^2-8b^2)^3}}{8b^2}}.\]

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回复 8# kuing
是不好看。请求贴过程,谢谢。

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回复 9# lemondian
你这有点伸手党吧,这好歹也应该把自己写到哪,抑或是遇到什么困难说清楚吧……
(这类问题就是联立方程看判别式吧!)

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本帖最后由 wwdwwd 于 2019-9-11 15:41 编辑

QQ图片20190911105304.jpg
2019-9-11 12:04

QQ图片20190911153218.png
2019-9-11 15:40


不知有没有算错。具体的a,b显然很好算的。。。
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回复 11# wwdwwd

首先点个赞~\(≧▽≦)/~

其次要说一点,引理的证明其实并不需要速度分解,你也知道速度分解普遍难以被接受,所以我帮你补充一个简单证明。
QQ截图20190911142602.png
2019-9-11 14:26

如图,设切线交准线于 `Q`,则有结论 `PF\perp FQ`,从而 `e=PF/PE=\cos\angle FPQ/\cos\angle EPQ`。

PS、由此也可以看出你的图的准线一定是随手画的

至于计算有没有错,我晚点再帮你验证,但方法肯定是 OK 的
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回复 12# kuing

哈哈,是的,因为对于速度分解来说,图形上的准线多远不重要。

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回复 12# kuing

看到你这个垂直,似乎有点印象,好像抛物线见得多。

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回复 11# wwdwwd

学习了,这个几何性质用得好

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回复 11# wwdwwd

11楼的极坐标那个分子少乘以(1-e^2)...在kk提示下补上了

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下面来验证 8# 的结果与 wwd 的是不是一样。
对 8# 的结果:
\[\sqrt{\frac{-27a^4+36a^2b^2-8b^4+a\sqrt{(9a^2-8b^2)^3}}{8b^2}}.\]
作代换 `a=c/e`, `b^2=c^2/e^2-c^2` 可化为
\[c\sqrt{\frac{1-20e^2-8e^4+\sqrt{(1+8e^2)^3}}{8e^2(1-e^2)}},\]若再令 `\sqrt{1+8e^2}=t\in(1,3)`,则 `e^2=(t^2-1)/8`,代入上式可化为
\[c\cdot\frac{3-t}{\sqrt{(t+3)(t-1)}},\](这样看来其实结果也不算难看)
而对 wwd 的结果
\[\frac{8c(1-e^2)}{\sqrt{\bigl(3+\sqrt{1+8e^2}\bigr)^3\bigl(-1+\sqrt{1+8e^2}\bigr)}},\]作以上代换也得到同样的式子,所以是一样的。
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回复 17# kuing

哦,对的,我11楼最后结果的分子,还可以做有理化处理。就是你这个了。
这个才是最简结果。有点神奇,有理化后刚好把8(1-e^2)完全约去,
这里面肯定还有没有发现的东西。。。

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有两个地方还看不懂:
1.11#$PF=\dfrac{a(1-e^2)}{ecos\alpha +1}$,如何来的?
2.12#中“结论$PF\perp FQ$”,不会证明。
另外双曲线是不是有类似的结论?

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回复 19# lemondian

1、你知道圆锥曲线的极坐标方程吗?
2、这结论在高考题中出现过(2012 安徽理数 20(虽然问法不一样)),所以建议自行解决。

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