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[数论] 关于连分数的余式问题

本帖最后由 hejoseph 于 2019-9-6 17:44 编辑

设 $D>1$,记 $\sqrt D$ 的连分数为 $[a_0,a_1,\cdots,a_n,\cdots]$,以及 $r_j=[a_j,a_{j+1},\cdots]$,那么必定有 $r_j=\frac{\sqrt D+P_j}{Q_j}$,可以确定 $Q_j>0$,那么当 $j\geqslant 1$ 时 $P_j$ 必定是正的吗?
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$\sqrt D$ 的第 $k$($k\geq 1$)个渐近分数是 $p_k/q_k$,则 $P_k=(-1)^{k+1}(p_{k-1}p_{k-2}-Dq_{k-1}q_{k-2})$,$Q_k=(-1)^k(p_{k-1}^2-Dq_{k-1}^2)$,不过没找到 $P_k\leq 0$ 的例子。

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