[几何] 立体几何求值

Shiki

在四面体ABCD中，三角形ADB为等腰直角三角形，AD=1，角BDC=角ADC=60度，角ADB=90度， 求异面直线AB与CD的距离。

hejoseph

发个一般结论：
二面角 $\varphi_1\text{-}AC\text{-}\varphi_2$ 的平面角是 $\gamma$，$AB$ 在 $\varphi_1$ 内，$CD$ 在 $\varphi_2$ 内，$\angle BAC = \alpha$，$\angle ACD = \beta$，$AC = a$，向量 $\vv{AB}$ 与 $\vv{CD}$ 的夹角是 $\theta$，$AB$、$CD$ 所成角是 $\psi$。
设 $\vv{AB}$ 是直线$AB$的正方向，单位向量是 $\bm{e}_{AB}$，$\vv{AB'}\bm{e}_{AB}$，点 $B'$ 到直线 $AC$ 的垂足是 $B_1$；$\vv{CD}$ 是直线$CD$的正方向，单位向量是 $\bm{e}_{CD}$，$\vv{CD'}=\bm{e}_{CD}$，点 $D'$ 到直线 $AC$ 的垂足是 $D_1$；$\vv{AC}$是直线$AC$的正方向，单位向量是 $\bm{e}_{AC}$。$KL$ 是 $AB$ 与 $CD$ 的公垂线，$K$ 在 $AB$ 上，$L$ 在 $CD$ 上，$\overline{AK}=x$，$\overline{CL}=y$。则
\begin{align*}
\cos\theta&=\vv{AB'}\cdot\vv{CD'}=\left(\vv{AB_1}+\vv{B_1B'}\right)\cdot\left(\vv{CD_1}+\vv{D_1D'}\right)\\
&=\vv{B_1B'}\cdot\vv{D_1D'}+\vv{AB_1}\cdot\vv{CD_1}+\vv{AB_1}\cdot\vv{D_1D'}+\vv{B_1B'}\cdot\vv{CD_1}\\
&=\left|\vv{B_1B'}\right|\cdot\left|\vv{D_1D'}\right|\cdot\cos\left\langle\vv{B_1B'},\vv{D_1D'}\right\rangle+\left|\vv{AB_1}\right|\cdot\left|\vv{CD_1}\right|\cdot\cos\left\langle\vv{AB_1},\vv{CD_1}\right\rangle\\
&=\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta，
\end{align*}
所以
\[
\cos\psi=|\cos\theta|=|\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta|。
\]
因为
\[
\vv{KL}=-\vv{AK}+\vv{AC}+\vv{CL}，
\]
所以
\begin{align*}
0&=\vv{KL}\cdot\vv{AB'}=-\vv{AK}\cdot\vv{AB'}+\vv{AC}\cdot\vv{AB'}+\vv{CL}\cdot\vv{AB'}\\
&=-x+a\cos\alpha+y\cos\theta，
\end{align*}
同理得
\[
-x\cos\theta-a\cos\beta+y=0，
\]
解方程组
\[
\left\{
\begin{aligned}
-x+a\cos\alpha+y\cos\theta&=0，\\
-x\cos\theta-a\cos\beta+y&=0，
\end{aligned}
\right.
\]
得
\[
\left\{
\begin{aligned}
x&=\frac{\cos\alpha+\cos\beta\cos\theta}{\sin^2\theta}\cdot a，\\
y&=\frac{\cos\beta+\cos\alpha\cos\theta}{\sin^2\theta}\cdot a，
\end{aligned}
\right.
\]
所以
\begin{align*}
KL^2&=AK^2+AC^2+CL^2-2\cdot\vv{AK}\cdot\vv{AC}-2\cdot\vv{AK}\cdot\vv{CL}+2\cdot\vv{AC}\cdot\vv{CL}\\
&=x^2+a^2+y^2-2ax\cos\alpha-2xy\cos\theta-2ay\cos\beta\\
&=\frac{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\theta-2\cos\alpha\cos\beta\cos\theta}{\sin^2\theta}\cdot a^2，
\end{align*}
把 $\cos\theta=\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta$ 代入上式分子，化简得
\[
KL^2=\left(\frac{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{\sin\theta}\cdot a\right)^2，
\]
所以
\[
KL=\frac{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{\sin\theta}\cdot a=\frac{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{\sin\psi}\cdot a。
\]