[组合] 4个鸭子在同一个半圆内的概率？

realnumber

4个鸭子在一圆形水池中，假设每个鸭子行动都是独立的，在每个位置都是随机的（假设在任意一块面积为s的区域内，概率是s/s圆），那么某一时刻，4只在同一半圆内的概率是多少？

据说是初二奥数，都在说1/8，我觉得是1/4.

青青子衿

此处应该@战版

isee

1/16+1/16=1/8也有道理的，我第一反应。

realnumber

把圆等分成2n个扇形，依次编号为1，2，3....，2n
随意固定一只鸭子假定落在n号扇形（忽略落在两扇形边界），那么其余三只要么都落在1~n号,要么都落在 n~2n-1号概率都是$0.5^3$,之和是1/4.
--想了想，这个做法应该错的，第2只落在1~n,比如n-1号，第3只落在n+1号也可以在同一个半圆，这样答案比1/4还大.

kuing

我竟然算出 1/2 自己都不太敢相信……

kuing

四鸭依次记为 `A`, `B`, `C`, `D`，圆心 `O`，记 `\angle BOA=x`, `\angle COB=y`, `\angle DOC=z`，问题变成：在点集 `\{(x,y,z)\mid x>0,y>0,z>0,x+y+z<2\pi\}` 内求 `\{(x,y,z)\mid x>\pi\lor y>\pi\lor z>\pi\lor x+y+z<\pi\}` 所占的体积比是多少。

也就是一个直四面体沿“中位面”切出四个角，而每个角都是占 `1/2^3`，加起来就是 `1/2` 了。

kuing

如果楼上这样算是 OK 的话，那如果是 `n` 只鸭，是不是就是 `n/2^{n-1}` 了？

lemondian

回复 7# kuing
应该是1/2,知乎有蛮多的讨论
https://zhuanlan.zhihu.com/p/77735377
https://www.zhihu.com/question/339701586/answer/783235268

kuing

回复 8# lemondian

作对称的法子挺有意思

kuing

或者说：给定 `\theta\in(0,\pi]`，则 `n` 只鸭同在圆心角为 `\theta` 的扇形内的概率为 `n\bigl(\frac\theta{2\pi}\bigr)^{n-1}`？

但如果 `\theta>\pi`，结论就会不同，就如上面讲的直四面体切角，这时被切部分有重叠，得减回去，时间关系明天再扯……

realnumber

百度到一个
https://blog.csdn.net/zmazon/article/details/8547278

isee

水这么深。。。。。那1/8为什么错了？

kuing

来一个非主流解法：递推 + 数归。（过程可能很难理解，但也可能未有人这样解过）

`n` 只鸭在圆形水池内随机游动，给定 `\theta\in(0,\pi]`，设某一时刻这些鸭同在圆心角为 `\theta` 的扇形内的概率为 `f(n,\theta)`，显然有 `f(1,\theta)=1`, `f(2,\theta)=\theta/\pi`。

当 `n\geqslant3` 时，我们假设其中两鸭与圆心 `O` 连成的角为 `\angle AOB=x`，然后把 `k` 只鸭放在角的外部，其余放在内部，内部显然可以随便放，但外部有限制，实际上这相当于圆内 `k+1` 只鸭同在圆心角为 `\frac{2\pi}{2\pi-x}(\theta-x)` 的扇形内的情形（其理由实在不知怎么表达，只能画个示意图如下，希望能帮助意会），

2019-8-27 11:21

2019-8-27 12:06

所以这种情况下的概率为
\[C_{n-2}^k\left( \frac x{2\pi} \right)^{n-2-k}\left( 1-\frac x{2\pi} \right)^kf\left( k+1,\frac{2\pi}{2\pi-x}(\theta-x) \right),\]从而得到递推关系
\[
f(n,\theta)=\int_0^\theta\sum_{k=0}^{n-2}C_{n-2}^k
\left( \frac x{2\pi} \right)^{n-2-k}
\left( 1-\frac x{2\pi} \right)^k
f\left( k+1,\frac{2\pi}{2\pi-x}(\theta-x) \right)
\frac{\rmd x}\pi,
\]接下来用数归，假设对 `k\in\{1,2,\ldots,n\}` 均有
\[f(k,\theta)=k\left( \frac\theta{2\pi} \right)^{k-1},\]则当 `k=n+1` 时
\begin{align*}
f(n+1,\theta)&=\int_0^\theta\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^k
\left( \frac x{2\pi} \right)^{n-1-k}
\left( 1-\frac x{2\pi} \right)^k
(k+1)\left( \frac{\theta-x}{2\pi-x} \right)^k
\frac{\rmd x}\pi\\
&=\int_0^\theta\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^k
\left( \frac x{2\pi} \right)^{n-1-k}
\left( \frac{\theta-x}{2\pi} \right)^k
(k+1)\frac{\rmd x}\pi,
\end{align*}利用二项式定理易证
\[\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^k\left( \frac x{2\pi} \right)^{n-1-k}\left( \frac{\theta-x}{2\pi} \right)^k(k+1)=\left( n-(n-1)\frac x\theta\right)\left( \frac\theta{2\pi} \right)^{n-1},\]从而
\[
f(n+1,\theta)=\left( \frac\theta{2\pi} \right)^{n-1}
\int_0^\theta\left( n-(n-1)\frac x\theta\right)\frac{\rmd x}\pi
=(n+1)\left( \frac\theta{2\pi} \right)^n,
\]故由数学归纳法可知对所有正整数 `n` 都有
\[f(n,\theta)=n\left( \frac\theta{2\pi} \right)^{n-1}.\]

其妙

2019-8-27 16:33

下面文档是四鸭分池问题的解答；
Lovelive! Sunshine!! 四鸭分池问题详解.pdf (908.13 KB)

下载次数: 31

2019-8-27 16:35

isee

回复 14# 其妙

选四条直径，其实还是要涉及圆内点的分布问题。。。。这个，初中生，多数，怕是不太可能想到吧。。。