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[组合] 4个鸭子在同一个半圆内的概率?

4个鸭子在一圆形水池中,假设每个鸭子行动都是独立的,在每个位置都是随机的(假设在任意一块面积为s的区域内,概率是s/s圆),那么某一时刻,4只在同一半圆内的概率是多少?

据说是初二奥数,都在说1/8,我觉得是1/4.
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此处应该@战版

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1/16+1/16=1/8也有道理的,我第一反应。

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本帖最后由 realnumber 于 2019-8-27 08:14 编辑

把圆等分成2n个扇形,依次编号为1,2,3....,2n
随意固定一只鸭子假定落在n号扇形(忽略落在两扇形边界),那么其余三只要么都落在1~n号,要么都落在 n~2n-1号概率都是$0.5^3$,之和是1/4.
--想了想,这个做法应该错的,第2只落在1~n,比如n-1号,第3只落在n+1号也可以在同一个半圆,这样答案比1/4还大.

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我竟然算出 1/2 自己都不太敢相信……

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四鸭依次记为 `A`, `B`, `C`, `D`,圆心 `O`,记 `\angle BOA=x`, `\angle COB=y`, `\angle DOC=z`,问题变成:在点集 `\{(x,y,z)\mid x>0,y>0,z>0,x+y+z<2\pi\}` 内求 `\{(x,y,z)\mid x>\pi\lor y>\pi\lor z>\pi\lor x+y+z<\pi\}` 所占的体积比是多少。

也就是一个直四面体沿“中位面”切出四个角,而每个角都是占 `1/2^3`,加起来就是 `1/2` 了。

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如果楼上这样算是 OK 的话,那如果是 `n` 只鸭,是不是就是 `n/2^{n-1}` 了?

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本帖最后由 lemondian 于 2019-8-26 23:58 编辑

回复 7# kuing
应该是1/2,知乎有蛮多的讨论
https://zhuanlan.zhihu.com/p/77735377
https://www.zhihu.com/question/339701586/answer/783235268

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回复 8# lemondian

作对称的法子挺有意思

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或者说:给定 `\theta\in(0,\pi]`,则 `n` 只鸭同在圆心角为 `\theta` 的扇形内的概率为 `n\bigl(\frac\theta{2\pi}\bigr)^{n-1}`?

但如果 `\theta>\pi`,结论就会不同,就如上面讲的直四面体切角,这时被切部分有重叠,得减回去,时间关系明天再扯……

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水这么深。。。。。那1/8为什么错了?

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来一个非主流解法:递推 + 数归。(过程可能很难理解,但也可能未有人这样解过)

`n` 只鸭在圆形水池内随机游动,给定 `\theta\in(0,\pi]`,设某一时刻这些鸭同在圆心角为 `\theta` 的扇形内的概率为 `f(n,\theta)`,显然有 `f(1,\theta)=1`, `f(2,\theta)=\theta/\pi`。

当 `n\geqslant3` 时,我们假设其中两鸭与圆心 `O` 连成的角为 `\angle AOB=x`,然后把 `k` 只鸭放在角的外部,其余放在内部,内部显然可以随便放,但外部有限制,实际上这相当于圆内 `k+1` 只鸭同在圆心角为 `\frac{2\pi}{2\pi-x}(\theta-x)` 的扇形内的情形(其理由实在不知怎么表达,只能画个示意图如下,希望能帮助意会),
QQ截图20190827112105.png
2019-8-27 11:21
timg.gif
2019-8-27 12:06

所以这种情况下的概率为
\[C_{n-2}^k\left( \frac x{2\pi} \right)^{n-2-k}\left( 1-\frac x{2\pi} \right)^kf\left( k+1,\frac{2\pi}{2\pi-x}(\theta-x) \right),\]从而得到递推关系
\[
f(n,\theta)=\int_0^\theta\sum_{k=0}^{n-2}C_{n-2}^k
\left( \frac x{2\pi} \right)^{n-2-k}
\left( 1-\frac x{2\pi} \right)^k
f\left( k+1,\frac{2\pi}{2\pi-x}(\theta-x) \right)
\frac{\rmd x}\pi,
\]接下来用数归,假设对 `k\in\{1,2,\ldots,n\}` 均有
\[f(k,\theta)=k\left( \frac\theta{2\pi} \right)^{k-1},\]则当 `k=n+1` 时
\begin{align*}
f(n+1,\theta)&=\int_0^\theta\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^k
\left( \frac x{2\pi} \right)^{n-1-k}
\left( 1-\frac x{2\pi} \right)^k
(k+1)\left( \frac{\theta-x}{2\pi-x} \right)^k
\frac{\rmd x}\pi\\
&=\int_0^\theta\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^k
\left( \frac x{2\pi} \right)^{n-1-k}
\left( \frac{\theta-x}{2\pi} \right)^k
(k+1)\frac{\rmd x}\pi,
\end{align*}利用二项式定理易证
\[\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^k\left( \frac x{2\pi} \right)^{n-1-k}\left( \frac{\theta-x}{2\pi} \right)^k(k+1)=\left( n-(n-1)\frac x\theta\right)\left( \frac\theta{2\pi} \right)^{n-1},\]从而
\[
f(n+1,\theta)=\left( \frac\theta{2\pi} \right)^{n-1}
\int_0^\theta\left( n-(n-1)\frac x\theta\right)\frac{\rmd x}\pi
=(n+1)\left( \frac\theta{2\pi} \right)^n,
\]故由数学归纳法可知对所有正整数 `n` 都有
\[f(n,\theta)=n\left( \frac\theta{2\pi} \right)^{n-1}.\]
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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blog7.png
2019-8-27 16:33

下面文档是四鸭分池问题的解答;
Lovelive! Sunshine!! 四鸭分池问题详解.pdf (908.13 KB)
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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回复 14# 其妙

选四条直径,其实还是要涉及圆内点的分布问题。。。。这个,初中生,多数,怕是不太可能想到吧。。。

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