kuing

写出一个通式可能比较麻烦，但就具体的数来算还算容易，举个例：
[1,62485] 内的美丽整数中：
不超四位数的：9+9*9+9*9*8+9*9*8*7 个；
[1~5]xxxx 的：5*9*8*7*6 个；
6[0~1]xxx 的：2*8*7*6 个；
62[0~3]xx 的：3*7*6 个；
624[0~7]x 的：5*6 个；
6248[0~5] 的：4 个；
所以结果为：9 + 9*9 + 9*9*8 + 9*9*8*7 + 5*9*8*7*6 + 2*8*7*6 + 3*7*6 + 5*6 + 4 = 21226。

kuing

回复 4# realnumber

想了想其实写通式也不是很麻烦，也就两类情况。

求不超过 `\overline{a_1a_2\cdots a_n}`（`n\leqslant10`）的美丽整数个数。

记 `b_k` 为 `a_1` 至 `a_{k-1}` 当中小于 `a_k` 的个数（比如我在 3# 举的例子 `62485` 有 `b_2=0`, `b_3=1`, `b_4=3`, `b_5=2`）。

（1）若 `\overline{a_1a_2\cdots a_n}` 本身就是美丽整数，则所求个数为
\begin{align*}
&9(1+A_9^1+A_9^2+\cdots+A_9^{n-2})+(a_1-1)A_9^{n-1}\\
{}+{}&(a_2-b_2)A_8^{n-2}+(a_3-b_3)A_7^{n-3}+\cdots+(a_{n-1}-b_{n-1})A_{11-n}^1+a_n-b_n+1;
\end{align*}

（2）若 `\overline{a_1a_2\cdots a_n}` 不是美丽整数，设其在第 `m` 位首次出现重复数字（比如 `62685` 为 `m=3`），则所求个数为
\begin{align*}
&9(1+A_9^1+A_9^2+\cdots+A_9^{n-2})+(a_1-1)A_9^{n-1}\\
{}+{}&(a_2-b_2)A_8^{n-2}+(a_3-b_3)A_7^{n-3}+\cdots+(a_m-b_m)A_{10-m}^{n-m}.
\end{align*}