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[函数] 函数 $f(f(x))=ax^2+bx+c$ 的问题

定义在实数域上的函数 $f(x)$ 满足 $f(f(x))=ax^2+bx+c$,其中 $a\neq 0$,求 $f(t)$ 能取得的所有值。
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好难找到一个特殊的, 所以我猜测多半不存在这样的函数,或者有也是极特别的情况,如$$f(f(x))=x^2,$$就是这个最简单的情况,我也没找到结果,汗啦。

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回复  hejoseph
好难找到一个特殊的, 所以我猜测多半不存在这样的函数,或者有也是极特别的情况,如$f(f(x))=x^2$。。。。
isee 发表于 2019-8-23 11:09

最近在网上有一道“题”,已知$f(f(x))=x^2+1$,求$f(1)$的值。
下面还有一道:
blog7.png
2019-8-23 12:52
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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好难找到一个特殊的, 所以我猜测多半不存在这样的函数,或者有也是极特别的情况,如$$f(f(x))=x^2,$$就是这个最简单的情况,我也没找到结果,汗啦。
isee 发表于 2019-8-23 11:09
这个毕竟可以是 $f(x)=\abs x^{\sqrt2}$

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回复 5# kuing

擦,$\sqrt 2$次,存在性成立了。

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给出一族特例(而且定义域还不是完整的):
\begin{align*}
f\left(x\right)&=
\begin{cases}
A\cos\left(\sqrt{2}\arccos\left(\dfrac{x-b}{A}\right)\right)+b
&\,&x\in\left[A\cos\left(\dfrac{\pi}{\sqrt2}\right)+b,\,A+b\right]\\
A\cosh\left(\sqrt{2}\operatorname{arcosh}\left(\dfrac{x-b}{A}\right)\right)+b
&\,&x\in\left[A+b,\,+\infty \right]
\end{cases}\\
\\
f\left(f\left(x\right)\right)&=\frac{2}{A}\left(x-b\right)^2-A+b
\end{align*}

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最近在网上有一道“题”,已知$f(f(x))=x^2+1$,求$f(1)$的值。
下面还有一道:
...
其妙 发表于 2019-8-23 12:52
满足条件的函数似乎有无数个……

首先看由一点生成一系列点的方法:
假设 `f(x)` 上有一点 `A(m,n)`,即 `f(m)=n`,因为 `f(n)=f(f(m))=m^2+1`,所以就会有另一点 `B(n,m^2+1)` 在 `f(x)` 上,其几何意义如下图所示:
QQ截图20190823152739.png
2019-8-23 15:36

如此类推,可确定出一无穷点列,由此就可以构造满足条件的函数。

首先,令 `f(0)=a\in(0,1)`,可得 `f(a)=f(f(0))=1`,即 `A(0,a)`, `B(a,1)` 在 `f(x)` 上,在线段 `AB` 上任取一点 `C`,然后依次作矩形确定其后的点列 `D`, `E`, `F` 等,那么,当 `C` 动起来,所有的动点画出的轨迹就是满足条件的一个 `f(x)`,动图演示如下:
bhdjnhrj.gif
2019-8-23 15:36

当然最后还要把它对称到左边才是完整的 `f(x)`,而因为开头的点及取的线段是任意的,所以 `f(x)` 有无穷多个,所以 `f(1)` 的值也无法求,或者说所有的点都无法确定……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 8# kuing


这个和2#的图象差不多了,所以,我才理解题的意思。

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回复 9# isee

2# 我没仔细看,应该也是差不多的意思,只不过我是直接从作图的角度出发的,应该更加容易理解……

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如果那二次函数有不动点,情况会复杂很多。

比如改成 `f(f(x))=2x^2-1` 的话,设 `f(1)=a`,则 `f(a)=f(f(1))=2\cdot1^2-1=1`,这样就有 `f(f(a))=2a^2-1` 及 `f(f(a))=f(1)=a`,因此 `2a^2-1=a`,解得 `a=1` 或 `a=-1/2`,同理对 `f(-1/2)` 亦如此。
`f(0)` 也有限个,设 `f(0)=b`,则
`f(b)=2\cdot0^2-1=-1`, `f(-1)=2b^2-1`, `f(2b^2-1)=2(-1)^2-1=1`, `f(1)=2(2b^2-1)^2-1`,
于是有 `2(2b^2-1)^2-1=1` 或 `-1/2`,解得 `b=0`, `\pm1`, `\pm1/2`, `\pm\sqrt3/2`,但检验发现代入 `b=0`, `\pm1`, `-1/2` 会得出矛盾,因此剩下 `b=1/2`, `\pm\sqrt3/2` 这三个没发现矛盾,具体数值如下:
`f(0)=1/2`, `f(1/2)=-1`, `f(-1)=-1/2`, `f(-1/2)=1`, `f(1)=-1/2`(进入循环);
`f(0)=\sqrt3/2`, `f(\sqrt3/2)=-1`, `f(-1)=1/2`, `f(1/2)=1`, `f(1)=-1/2`, `f(-1/2)=1`(进入循环);
`f(0)=-\sqrt3/2`, `f(-\sqrt3/2)=-1`, `f(-1)=1/2`, `f(1/2)=1`, `f(1)=-1/2`, `f(-1/2)=1`(进入循环);
而这同时也说明只能 `f(1)=-1/2`, `f(-1/2)=1`。

但其他的点的点继续推下去还会不会有矛盾?还不知道呢?已经有点晕,有空再玩……

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回复 8# kuing
厉害!研究的这么透彻!动图还做的如此牛逼!
当时有人质疑题目是错误的,因为不同的方法算出来f(1)的值不一样的!
下面还有一道:
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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回复 12# 其妙

以前简单的研究过一次函数的迭代,我能肯定的是$f(x)=ax+b,a\ne 0$不满足题设。

以上是最简单的情形,没什么争议,其它的,看你们了

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回复 12# 其妙
这个不难。

假设 $f(n)=m\inZ$,则
\begin{align*}
f(m)&=f(f(n))=n-1,\\
f(n-1)&=f(f(m))=m-1,\\
f(m-1)&=f(f(n-1))=n-2,\\
f(n-2)&=f(f(m-1))=m-2,\\
&\cdots
\end{align*}规律很清楚。

显然 `m\ne n` 否则与 `f(f(x))=x-1` 矛盾,下面分两类讨论。

(1)若 `m>n`,设 `m=n+k`, $k\inN^+$,则依上述规律有 `f(m-k)=f(f(n-k))=n-k-1`,即 `f(n)=n-k-1`,而这与所设的 `f(n)=m=n+k` 矛盾!

(2)若 `m<n`,设 `n=m+k`, $k\inN^+$,则依上述规律有 `f(n-k)=f(f(m-k+1))=m-k`,即 `f(m)=m-k`,而这又与开头得到的 `f(m)=n-1=m+k-1` 矛盾!

综上所述,不存在 `n` 使 `f(n)` 为整数。

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回复 14# kuing

果然是不存在.

最近函数迭代为什么这么热。。。

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回复 15# isee

布吉岛鸭……

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回复 16# kuing

等着何版放大招,一般结论性,应该是有的。

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回复 11# kuing

找到个例题,函数迭代与函数方程 王伟叶,熊斌 著
f_0001.jpg
2019-8-24 17:03

f_0002.jpg
2019-8-24 17:03

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回复 18# isee

噢 thanks!这样看来我在 11# 改的题就是不存在的了

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本帖最后由 isee 于 2019-8-24 17:40 编辑

回复 19# kuing

198页前四行,变换偶看得比较模糊,这种“深度”迭代,还是初次见到,这真是竞赛级别了。
=====
啧啧啧,明白意思了,厉害厉害了。

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