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R. E. Rice; B. Schweizer; A. Sklar在文章 When is f(f(z)) = az^2 + bz + c?中给出了结论:
THEOREM 3. Let P be a quadratic polynomial defned on the complex plane C. Then P has no
iterative roots of  order 2, i.e., there exists no function f whatever such that,f(f(z))=P(z)  for all z in C.
也就是说,在复平面内,二次多项式不存在阶数为2的解析迭代根。

对于更一般的问题 f(f(x))=g(x),mathoverflow网站上有人已经讨论过,点这里进入
更多关于迭代根或者分数次迭代相关参考资料,见 https://reglos.de/lars/ffx.html#Targonski81

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但若将求解范围限定到实数域,那么解并不唯一,可以精心构造,但结果并不好看。

如果存在实不动点,那么在不要动点附近展开为幂级数,然后代入方程反求系数。相关信息见 https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 70&fromuid=8865

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回复 22# Infinity

谢谢提供资料(虽然大部分看不懂

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其实这个问题我知道在复数域内是无解析解的,也知道在实数域内有无数个函数满足条件,题目要求的是某个自变量的函数值域,这个对于特殊的二次函数我做过,不太难的,因此引申到一般二次函数的情形。
目前还没什么结论。

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https://www.zhihu.com/question/340104755
这里讨论了满足 $f(f(x))=x^2+1$ 时 $f(1)$ 的取值范围是 $(1,2)\cup(2,5)$。

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