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[几何] 两圆的乘积

本帖最后由 hbghlyj 于 2021-6-1 05:33 编辑

X,Y都是复数构成的集合,现在定义它们的积为$XY:=\{xy|x\in X,y\in Y\}$,求下面各图形对应的复数集合的积表示的区域
Ⅰ直线、直线
Ⅱ直线、圆
Ⅲ圆、圆。大概是心脏线或者蜗线吧
(这里的"圆"都不包含内部)
下图是两条不过原点的直线之积
QQ图片20190806003151.jpg
2019-9-1 03:16

两条不过原点的斜率相反的直线之积
QQ图片20190806003151 (1).jpg
2019-9-1 03:16

两条不过原点的直线之积是抛物线的外部,且区域内每个点都是二重点.当且仅当斜率相反时,抛物线的对称轴为x轴.
证明:设两条直线倾斜角为$\theta,\phi$,与x轴的交点为a,b.$\lambda,\mu$是实参数.
由$x=a b+a \mu  \cos \phi+b \lambda  \cos\theta+\lambda  \mu  \cos(\theta+\phi),y=a \mu  \sin \phi+b \lambda  \sin\theta+\lambda  \mu  \sin(\theta+\phi)$消去$\mu$得一个关于$\lambda$的二次方程:
\[-a^2 b \sin \phi-2 a b \lambda  \cos\theta \sin \phi+a x \sin \phi-b \lambda ^2 \sin ^2\theta \sin \phi-b \lambda ^2 \cos ^2\theta \sin \phi+\lambda  x \sin\theta \cos \phi+\lambda  x \cos\theta \sin \phi=y (a \cos \phi-\lambda  \sin\theta \sin \phi+\lambda  \cos\theta \cos \phi)\]
令$\Delta\ge0$得\[-4 a^2 b^2 \sin ^2(\theta ) \sin ^2(\phi )+a b x (\cos (2 \theta +2 \phi )-\cos (2 \theta )-\cos (2 \phi )+1)+a b y (\sin (2 \theta +2 \phi )-\sin (2 \theta )-\sin (2 \phi ))+x^2 \sin ^2(\theta +\phi )-x y \sin (2 \theta +2 \phi )+y^2 \cos ^2(\theta +\phi )\ge0\]表示一个倾斜角为$\theta+\phi$的抛物线的外部

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-4-26 23:16 编辑

QQ图片20200123152407.gif
2020-2-15 12:54

交于原点的两圆之积会产生这种曲线。
QQ图片20200123152407.gif
2020-2-15 12:42

过原点的直线与两圆的交点之积会产生类似的曲线?

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考虑过原点的两圆乘积:
圆心为$(x_1,y_1)(x_2,y_2)$,动点为$(-x_1 \cos \phi +x_1+y_1\sin \phi,-y_1\sin \phi-y_1 \cos \phi+y_1)$与$(-x_2 \cos \theta +x_2+y_2\sin \theta,-y_2\sin \theta-y_2 \cos \theta +y_2)$,两动点之积为(x,y).
令$u=\tan{\frac\phi2},v=\tan{\frac\theta2}$,在$u^2 v^2 x+u^2 x+4 u v x_1 x_2-4 u v y_1 y_2-4 u x_1 y_2-4 u x_2 y_1+v^2 x-4 v x_1 y_2-4 v x_2 y_1+x-4 x_1 x_2+4 y_1 y_2=u^2 v^2 y+u^2 y+4 u v x_1 y_2+4 u v x_2 y_1+4 u x_1 x_2-4 u y_1 y_2+v^2 y+4 v x_1 x_2-4 v y_1 y_2-4 x_1 y_2-4 x_2 y_1+y=0$中消去v得$u^2 x^2+u^2 y^2-4 u x x_1 y_2-4 u x x_2 y_1+4 u x_1 x_2 y-4 u y y_1 y_2+x^2-4 x x_1 x_2+4 x y_1 y_2-4 x_1 y y_2-4 x_2 y y_1+y^2$,令$Δ_u$≥0得$-4 x^2 \text{x1}^2 \text{y2}^2-8 x^2 \text{x1} \text{x2} \text{y1} \text{y2}-4 x^3 \text{x1} \text{x2}-4 x^2 \text{x1} y \text{y2}-4 x^2 \text{x2}^2 \text{y1}^2-4 x^2 \text{x2} y \text{y1}+2 x^2 y^2+4 x^3 \text{y1} \text{y2}+x^4+8 x \text{x1}^2 \text{x2} y \text{y2}+8 x \text{x1} \text{x2}^2 y \text{y1}-4 x \text{x1} \text{x2} y^2-8 x \text{x1} y \text{y1} \text{y2}^2-8 x \text{x2} y \text{y1}^2 \text{y2}+4 x y^2 \text{y1} \text{y2}-4 \text{x1}^2 \text{x2}^2 y^2+8 \text{x1} \text{x2} y^2 \text{y1} \text{y2}-4 \text{x1} y^3 \text{y2}-4 \text{x2} y^3 \text{y1}-4 y^2 \text{y1}^2 \text{y2}^2+y^4\le0$.

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