[函数] 无法分离参数如何是好？

本帖最后由 facebooker 于 2019-8-18 22:24 编辑

对$\forall x∈(0,1]$都有$a\sqrt{2x^2+2}+\frac{4}{ax-a-2}\geqslant 2a-2$恒成立,求实数$a$的取值范围

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kuing

2^#

发表于 2019-8-18 21:00 | 只看该作者

有没有抄错题？因为我只能得出 a=0

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facebooker

3^#

发表于 2019-8-18 22:25 | 只看该作者

回复 2# kuing

抱歉大佬这次题目对了。看看怎么搞？出题者只是提示两个字：硬撸。

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kuing

4^#

发表于 2019-8-18 23:40 | 只看该作者

回复 3# facebooker

貌似也不需要怎么硬吧，软也能搞。

还是有点类似于上次这帖 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=6215，所以用的方法也类似。

令 `f(x)=\text{左边}-\text{右边}`，易知 `f(1)=f'(1)=0`，所以必须 `f''(1)\geqslant0`，由此可得 `0\leqslant a\leqslant1/2`，这是必要性，下面证明它是充分的。

当 `0\leqslant a\leqslant1/2` 时，将 `f(x)` 的 `x` 视为常数，对 `a` 求二阶导数，得
\[\bigl( f(x) \bigr)''_a=-\frac{8(x-1)^2}{(2+a-ax)^3}\leqslant0,\]可见关于 `a` 是上凸的，因此只需证明当 `a=0` 以及 `a=1/2` 时均满足题意即可，显然 `a=0` 时 `f(x)` 恒为零，故剩下 `a=1/2` 时，此时
\[f(x)=\sqrt{\frac{x^2+1}2}+\frac8{x-5}+1,\]而
\[\frac{x^2+1}2-\left(\frac8{x-5}+1\right)^2=\frac{(x-7)(x-1)^3}{2(x-5)^2}\geqslant0,\]从而得证。

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