回复 3# facebooker
貌似也不需要怎么硬吧,软也能搞。
还是有点类似于上次这帖 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=6215,所以用的方法也类似。
令 `f(x)=\text{左边}-\text{右边}`,易知 `f(1)=f'(1)=0`,所以必须 `f''(1)\geqslant0`,由此可得 `0\leqslant a\leqslant1/2`,这是必要性,下面证明它是充分的。
当 `0\leqslant a\leqslant1/2` 时,将 `f(x)` 的 `x` 视为常数,对 `a` 求二阶导数,得
\[\bigl( f(x) \bigr)''_a=-\frac{8(x-1)^2}{(2+a-ax)^3}\leqslant0,\]可见关于 `a` 是上凸的,因此只需证明当 `a=0` 以及 `a=1/2` 时均满足题意即可,显然 `a=0` 时 `f(x)` 恒为零,故剩下 `a=1/2` 时,此时
\[f(x)=\sqrt{\frac{x^2+1}2}+\frac8{x-5}+1,\]而
\[\frac{x^2+1}2-\left(\frac8{x-5}+1\right)^2=\frac{(x-7)(x-1)^3}{2(x-5)^2}\geqslant0,\]从而得证。 |