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[数论] 变模数的二次同余方程组

本帖最后由 青青子衿 于 2019-8-18 12:52 编辑

\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
x\,\equiv44&\pmod{y\,\,}\\
x^2\equiv44&\pmod{y^2}
\end{split}
\right.
\end{align*}


“变模数”?!“变魔术”
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本帖最后由 hejoseph 于 2019-8-19 11:46 编辑

令 $x=my+44$,$x^2=ny^2+44$,其中 $m,n\in\mathbb{Z}$,则得方程
\[
(m^2-n)y^2+88my+1892=0
\]
当 $m^2=n$ 时,方程变为 $2my+43=0$,这是不可能的。
当 $m^2\neq n$ 时,$y$ 一定是 $1892$ 的因数,而 $1892^2=2^2\times 11\times 43$,逐一将 $y$ 值代入方程 $(m^2-n)y^2+88my+1892=0$ 中求整数解,得如下解:
1 $x$ 是任意整数,$y=\pm 1$
2 $x$ 是任意偶数,$y=\pm 2$
3 $x=947+1849t$,$y=\pm 43$
4 $x=-902+3698t$,$y=\pm 86$

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回复 2# hejoseph
精彩!谢谢何版主!

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