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构成三角形的充要条件

本帖最后由 hbghlyj 于 2019-8-16 20:17 编辑

设${a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}{\text{ > }}0$,满足条件${\left( {a_1^2 + a_2^2 +  \cdots  + a_n^2} \right)^2}{\text{ > }}\left( {n - 1} \right)\left( {a_1^4 + a_2^4 +  \cdots  + a_n^4} \right)$,求证:以$a_i,a_j,a_k$为边能构成三角形,其中n为≥3的整数,i,j,k为≤n的任三个不同正整数
我的思路:
当n=3时因式分解为$\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right) > 0$可证,当n=4时系数都是2,提取后$a_1^4 + a_2^4 + a_3^4 + a_4^4 - a_1^2a_2^2 - a_1^2a_3^2 - a_1^2a_4^2 - a_2^2a_3^2 - a_2^2a_4^2 - a_3^2a_4^2$,视为关于$a_1^2$的二次方程,$\Delta$的系数都是3,提取后$\left( {{a_2} + {a_3} + {a_4}} \right)\left( { - {a_2} + {a_3} + {a_4}} \right)\left( {{a_2} - {a_3} + {a_4}} \right)\left( {{a_2} + {a_3} - {a_4}} \right)$恰为$a_2,a_3,a_4$当n=3的式子,由$\Delta \geq0$可证。。这个证明当n>4时能否继续下去?
附标答
Screenshot_2019_0816_125301.png
2019-8-16 20:15

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-8-16 20:25 编辑

回复 2# kuing
我们第一感觉一样
另外,作代换${a_1} \to {a_2} + {a_3}$得一平方式${\left( {a_2^2 + {a_2}{a_3} + a_3^2 - a_4^2} \right)^2}$这个规律当n>4时能否延续下去?
还有,求次数最低的多项式,它的符号可以判定n个数中任意六个数能构成四面体的棱?

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