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[几何] 平面一点到三角形三顶点连线成定角的距离

设 $BC=a$,$CA=b$,$AB=c$,$\angle CAB=A$,$\angle ABC=B$,$\angle BCA=C$,$\triangle ABC$ 的面积是 $S$。点$P$ 不与点 $A$、$B$、$C$ 任意一点重合,$\measuredangle$ 表似有向角,当 $\triangle ABC$ 和 $\triangle BCP$ 旋转方向相同,则 $\measuredangle BPC$ 和 $\triangle BCP$的有向面积为正,反之为负,$\measuredangle CPA$、$\measuredangle APB$ 和 $\triangle CAP$、$\triangle ABP$ 有向面积的符号规定类似,$\measuredangle BPC=\alpha$,$\measuredangle CPA=\beta$,$\measuredangle APB=\gamma$。则
\begin{align*}
AP&=\frac{\left|\left(b^2+c^2-a^2\right)\sin\alpha-4S\cos\alpha\right|}{2\sqrt{4S\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma-a^2\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha-b^2\sin\gamma\sin\alpha\cos\beta-c^2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma}},\\
BP&=\frac{\left|\left(c^2+a^2-b^2\right)\sin\beta-4S\cos\beta\right|}{2\sqrt{4S\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma-a^2\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha-b^2\sin\gamma\sin\alpha\cos\beta-c^2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma}},\\
CP&=\frac{\left|\left(a^2+b^2-c^2\right)\sin\gamma-4S\cos\gamma\right|}{2\sqrt{4S\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma-a^2\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha-b^2\sin\gamma\sin\alpha\cos\beta-c^2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma}}。
\end{align*}
定义
\begin{align*}
\overline{AP}&=\frac{\left(b^2+c^2-a^2\right)\sin\alpha-4S\cos\alpha}{2\sqrt{4S\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma-a^2\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha-b^2\sin\gamma\sin\alpha\cos\beta-c^2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma}},\\
\overline{BP}&=\frac{\left(c^2+a^2-b^2\right)\sin\beta-4S\cos\beta}{2\sqrt{4S\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma-a^2\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha-b^2\sin\gamma\sin\alpha\cos\beta-c^2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma}},\\
\overline{CP}&=\frac{\left(a^2+b^2-c^2\right)\sin\gamma-4S\cos\gamma}{2\sqrt{4S\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma-a^2\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha-b^2\sin\gamma\sin\alpha\cos\beta-c^2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma}},
\end{align*}
用 $\overline{S}_F$ 表示图形 $F$ 的有向面积,则
\begin{align*}
\overline{S}_{\triangle BCP}&=\frac{1}{2}\cdot\overline{BP}\cdot\overline{AP}\cdot\sin\alpha,\\
\overline{S}_{\triangle CAP}&=\frac{1}{2}\cdot\overline{CP}\cdot\overline{AP}\cdot\sin\beta,\\
\overline{S}_{\triangle ABP}&=\frac{1}{2}\cdot\overline{AP}\cdot\overline{BP}\cdot\sin\gamma。
\end{align*}
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