[函数] 求证一个三角恒等式

lemondian

证明：对于每一个实数$x$，均有$cos^3\dfrac{x}{3}+cos^3\dfrac{x+2\pi}{3}+cos^3\dfrac{x+4\pi}{3}=\dfrac{3}{4}cosx$。

kuing

我之前在 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5332 里已经对有此类恒等式给出了一般推广。
不过我估计你不会有耐心看完所有内容，所以如果只想知道你问的那个怎么证，可以只看帖中的 6#，此式属于 6# 后面当 `m=n` 为奇数的 `T_{n,n}(\theta)` 的结论。

lemondian

回复 2# kuing
在慢慢看，对我来说，是比较难了。
一方面是欧拉公式及二项式定理结合基本没接触过，二是我对kuing的帖中记号看得好困难。
能不能就6#的m=n详细写一些过程？谢谢！
就是此处：

下载 (33.28 KB)

2019-8-11 18:12

kuing

回复 3# lemondian

看得困难那就算了，就 1# 的题用三倍角公式就很简单：
\begin{align*}
\cos^3\theta&=\frac34\cos\theta+\frac14\cos3\theta,\\
\cos^3\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)&=\frac34\cos\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\frac14\cos(3\theta+2\pi)=\frac34\cos\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\frac14\cos3\theta,\\
\cos^3\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=\frac34\cos\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)+\frac14\cos(3\theta+4\pi)=\frac34\cos\left( \theta-\frac{2\pi}3 \right)+\frac14\cos3\theta,
\end{align*}易证
\[\cos\theta+\cos\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\cos\left( \theta-\frac{2\pi}3 \right)=0,\]从而上述三式相加即得证。

lemondian

回复 4# kuing
我也用三倍角公式证到了，写得没你清晰。
但你的推广太好了，想认真学习下，所以想你写一下这个推理过程。

lemondian

对于每一个实数$x$，均有$sin^3\dfrac{x}{3}+sin^3\dfrac{x+2\pi}{3}+sin^3\dfrac{x+4\pi}{3}=-\dfrac{3}{4}sinx$。
问题（1）：这个能推广不？
（2）正切的有不？

kuing

回复 6# lemondian

（1）我那个擦，作置换 `\theta\to\theta+\pi/2` 不就一样了吗。。。。。。
（2）tan 有空再试。

lemondian

回复 7# kuing
正弦的那个，似懂非懂，写不好两个表达式！
kuing，麻烦您写出完整的正弦恒等式呗（奇，偶的），谢谢！

kuing

记 `t=\tan(3\theta)`，有
\begin{align*}
\tan\theta+\tan\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\tan\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=3t,\\
\tan^2\theta+\tan^2\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\tan^2\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=(3t)^2+6,\\
\tan^3\theta+\tan^3\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\tan^3\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=(3t)^3+24t,\\
\tan^4\theta+\tan^4\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\tan^4\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=(3t)^4+96t^2+18,\\
\tan^5\theta+\tan^5\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\tan^5\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=(3t)^5+360t^3+120t,\\
\tan^6\theta+\tan^6\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\tan^6\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=(3t)^6+1296t^4+624t^2+54,\\
\tan^7\theta+\tan^7\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\tan^7\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=(3t)^7+4536t^5+2856t^3+504t,\\
\tan^8\theta+\tan^8\left( \theta+\frac{2\pi}3 \right)+\tan^8\left( \theta+\frac{4\pi}3 \right)&=(3t)^8+15552t^6+12096t^4+3264t^2+162,
\end{align*}
那些系数还观察不出啥规律啊

isee

回复 9# kuing

这都能算出来~

kuing

回复 10# isee

MMC(A) 辅助啊

lemondian

kuing在6#的那个我写不出来

isee

回复 12# lemondian

7#的意思是把1#的$x$替换为$x+\pi/2$，诱导公式一下，立刻就是6#的结论了。

kuing

回复 13# isee

我说的是我写的 `\theta`，如果是 1# 换，是 `x/3 \to x/3+\pi/2`。

isee

回复 14# kuing

我这个错误太致命了，引起阅读理解错误，抱歉了

lemondian

我怎么写不来呢？哪里出问题了。
其实我是想得到正弦象2#那样的一般结论及详细的证明过程

lemondian

这个结论对不？

下载 (24.08 KB)

2019-8-15 22:32

kuing

回复 17# lemondian

偶数错。。。[捂脸]。。。
就是用一下诱导公式这么简单的事情，三日才写对一半。。。我。。。。。。

lemondian

这个对了吗？

下载 (11.88 KB)

2019-8-16 13:09

kuing

对了。