不完全多项式——一道初中题

hbghlyj

判断命题"f(x)与g(x)是不完全多项式,f(x)g(x)是不完全多项式"的真假
我的思路：
要使乘积含常数项，f(x)与g(x)常数项非零
要使乘积含一次项，f(x)与g(x)有一个的一次项非零
要使乘积含二次项，f(x)与g(x)一次项都非零或f(x)与g(x)有一个的二次项非零
然后就被绕进去了
补充基础知识：...除$a_0$外,其余的系数都可以是零,这时多项式叫做不完全多项式.
比如$x+1,x^2-x+1$都是完全多项式,它们的乘积$x^3+1$是不完全多项式.

abababa

设$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0,g(x)=b_mx^m+\cdots+b_0$，则积为$f(x)g(x)=c_{m+n}x^{m+n}+\cdots+c_0$。
因为$\prod_{k=0}^{m+n}c_k\neq0$，而每个$c_k$都必来源于$a_ib_j$或$a_{i_1}b_{j_1}+a_{i_2}b_{j_2}$，为了保证$f(x)g(x)$不缺项，必有$a_{i_1}b_{j_1} \cdot a{i_2}b_{j_2}\neq0,a_ib_j\neq0$。因此$\prod_{i=0}^{n}a_i\cdot\prod_{j=0}^{m}b_j\neq0$，这与$f(x),g(x)$之一缺项矛盾。

kuing

`(x^3+x^2+1)(x^3+x+1)=x^6+x^5+x^4+3x^3+x^2+x+1` 这样吗？

hbghlyj

回复 2# abababa

而每个$c_k$都必来源于$a_ib_j$或$a_{i_1}b_{j_1}+a_{i_2}b_{j_2}$，为了保证$f(x)g(x)$不缺项，必有$a_{i_1}b_{j_1} \cdot a_{i_2}b_{j_2}\neq0,a_ib_j\neq0$。

这句话没看懂。我只能得出$c_k=a_0b_k+a_1b_{k-1}+\cdots+a_kb_0$

hbghlyj

回复 3# kuing
问题迅速解决。在此基础上还有
$\left(x^4+x^3+x^2+1\right) \left(x^4+x^2+x+1\right)=x^8+x^7+2 x^6+2 x^5+4 x^4+2 x^3+2 x^2+x+1$
抛出几个问题
Ⅰ如果限定f(x)和g(x)次数和缺项数，能不能得出f(x)g(x)缺项数的范围？
Ⅱ在mod2剩余系上如何讨论这一问题？

kuing

回复 5# hbghlyj

`(x^4+x^2+x+1)(x^3+x^2+1)=x^7+x^6+x^5+3x^4+2x^3+2x^2+x+1`

kuing

回复 5# hbghlyj

Z[2] 是啥意思？模 2 ？
反正右边全为 1 都可以：
`(x^2+1)(x^5+x^4+x+1)=x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1`
`(1+x^3+x^6)(1+x+x^2+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{18}+x^{19}+x^{20})=1+x+x^2+\cdots+x^{26}`

abababa

回复 4# hbghlyj

哦，我想得太简单了，以为每个$c_k$至多是两项的和。

hbghlyj

回复 7# kuing
对任意正整数n,n次多项式平方后它的非零项个数不变?
如果不存在,那么至少增加1,比如
$(x^n+a)^2=x^{2n}+2ax^n+a^2$

hbghlyj

一,二,三次多项式平方后它的非零项个数会增加,至少增加1,例如
$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$
${\left( {{x^2} + ax - \frac{{{a^2}}}{2}} \right)^2} = {x^4} + 2a{x^3} - {a^3}x + \frac{{{a^4}}}{4}$
$\left(x^3+a x^2-\frac{a^2 x}{2}+\frac{a^3}{2}\right)^2=x^6+2 a x^5+\frac{5 a^4 x^2}{4}-\frac{a^5 x}{2}+\frac{a^6}{4}$
${\left( {{x^3} + a{x^2} - \frac{{{a^2}x}}{2} - \frac{{{a^3}}}{8}} \right)^2} = {x^6} + 2a{x^5} - \frac{{5{a^3}{x^3}}}{4} + \frac{{{a^5}x}}{8} + \frac{{{a^6}}}{{64}}$
${\left( {{x^3} + a{x^2} + 2{a^2}x - 2{a^3}} \right)^2} = {x^6} + 2a{x^5} + 5{a^2}{x^4} - 8{a^5}x + 4{a^6}$
四次多项式平方后它的非零项个数可能不变.
$\left(a x^3+b x^2+c x+d+x^4\right)^2$展开后6,5,3,2次项系数分别为$a^2+2 b,2 a b+2 c,2 a d+2 b c,2 b d+c^2$,
注意到恒等式$a(ad+bc)+(2bd+c^2)=c(c+ab)+d(2b+a^2)$,取a为非零实数,$b=-\frac{a^2}2,c=-ab$即可.
例如
$\left(x^4+2 x^3-2 x^2+4 x+4\right)^2=x^8+4 x^7+28 x^4+32 x+16$