本帖最后由 hbghlyj 于 2020-1-31 23:24 编辑
一,二,三次多项式平方后它的非零项个数会增加,至少增加1,例如
$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$
${\left( {{x^2} + ax - \frac{{{a^2}}}{2}} \right)^2} = {x^4} + 2a{x^3} - {a^3}x + \frac{{{a^4}}}{4}$
$\left(x^3+a x^2-\frac{a^2 x}{2}+\frac{a^3}{2}\right)^2=x^6+2 a x^5+\frac{5 a^4 x^2}{4}-\frac{a^5 x}{2}+\frac{a^6}{4}$
${\left( {{x^3} + a{x^2} - \frac{{{a^2}x}}{2} - \frac{{{a^3}}}{8}} \right)^2} = {x^6} + 2a{x^5} - \frac{{5{a^3}{x^3}}}{4} + \frac{{{a^5}x}}{8} + \frac{{{a^6}}}{{64}}$
${\left( {{x^3} + a{x^2} + 2{a^2}x - 2{a^3}} \right)^2} = {x^6} + 2a{x^5} + 5{a^2}{x^4} - 8{a^5}x + 4{a^6}$
四次多项式平方后它的非零项个数可能不变.
$\left(a x^3+b x^2+c x+d+x^4\right)^2$展开后6,5,3,2次项系数分别为$a^2+2 b,2 a b+2 c,2 a d+2 b c,2 b d+c^2$,
注意到恒等式$a(ad+bc)+(2bd+c^2)=c(c+ab)+d(2b+a^2)$,取a为非零实数,$b=-\frac{a^2}2,c=-ab$即可.
例如
$\left(x^4+2 x^3-2 x^2+4 x+4\right)^2=x^8+4 x^7+28 x^4+32 x+16$ |