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[数论] NMO试题数论部分

本帖最后由 hbghlyj 于 2019-8-9 02:22 编辑

1.已知x,y为满足以下性质的数:存在三个正整数a,b,c(a<b<c)满足其中任意两个数的乘积加上1都能够被第三个数整除,而x,y分别为所有的a,b,c中的较大者和较小者,试问:是否存在两个不同的正整数s,t使得[s,s+x]=[t,t+y+6](这里的[]表示最小公倍数)
5.已知a,b,c,d为自然数,若$a^2+b^2+c^2+d^2+1$能被abcd整除,求$\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+1}{abcd}$的值,并求出每个与之对应的abcd的值
6.已知n个相异非零实数满足任意两数的和或者积均为有理数,则保证n个数平方和为有理数的n有几个?
10.已知素数$p\equiv1\left(\mod 6\right)$且$\frac1{\left[\left(\frac{p-1}3\right)!\right]^3}≢5\left(\mod p\right)$,证明:$x_1^3+x_2^3+x_3^3\equiv0\left(\mod p\right)$有一组解满足$p∤x_1,x_2,x_3$
11.求证:存在无穷多个正整数n,使得$n^2+1$有一个大于$2n+\sqrt{2n}$的素因子
20.对于所有>1的不能写成$n^n(n\in \mathbf{Z})$的有理数,都能写成$m^m(m为无理数)$
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