[几何] 破镜重圆

hbghlyj

2019-8-8 18:24

(1)$\triangle ABC 顺\sim \triangle DEF$,将AD,BE,CF平移到GH,GI,GJ，则$\triangle ABC 顺\sim \triangle HIJ$
请问逆命题是否正确？
将AD,BE,CF平移到GH,GI,GJ，$\triangle ABC 顺\sim \triangle HIJ$，则$\triangle ABC 顺\sim \triangle DEF$
(2)在△ABC周围作$△DCB∽△OE_0F_0，△EAC∽△OF_0D_0，△FBA∽△OD_0E_0$，那么$△DEF∽△D_0E_0F_0$。

2019-8-8 18:58

hbghlyj

(1)△ABC,△DEF是任意三角形，它们的相对大小和相对夹角不变时（即单个三角形平移或者两个三角形同时旋转、位似时），△DEF的形状不变
由此，逆命题似乎是正确的？缺一个证明。

信步千山

回复 1# hbghlyj

(1)用复数法最简单——以G为原点。
[img]

2019-8-8 20:51

[/img]
（没用过代码，不知道行列式怎么输 ）

(2)这似乎是叶的一个结论，可以试一下复数法证明。
显然∠AFB+∠BDC+∠CEA=2π，
$\dfrac{AF}{FB}\cdot \dfrac{BD}{DC}\cdot \dfrac{CE}{EA}=1$
有人将这种称为“完美六边形”。网上有人总结过数十条结果。

hbghlyj

回复 3# 信步千山
这两题能否推广为：
设$f_i(x,y)=A_ix+B_iy+C_i(A_i,B_i,C_i \in \mathbf{C},i=1,2,3)$
若存在复数$z_1,z_2,z_3$，$f_1(z_1,z_2)=f_2(z_2,z_3)=f_3(z_3,z_1)$
则对任意复数$z_1,z_2,z_3$，$f_1(z_1,z_2),f_2(z_2,z_3),f_3(z_3,z_1)$构成的所有三角形彼此都相似（三角形退化成点后认为跟所有三角形相似）（我还没学复数，可能猜错）

kuing

回复 3# 信步千山

矩阵系列的输入在置帖有讲。行列式用 vmatrix 环境，如

1. \begin{vmatrix}
   
2. A&D&1\\
   
3. B&E&1\\
   
4. C&F&1
   
5. \end{vmatrix}

复制代码

即得
\[
\begin{vmatrix}
A&D&1\\
B&E&1\\
C&F&1
\end{vmatrix}
\]
回复 4# hbghlyj

mathtype 对矩阵之类的转码不怎么样，基本上都是用 left + array环境 + right
代码往往较长且伴随一些多余的 { } 或其他没用的东西……

hbghlyj

回复 9# 信步千山
任意拖动E,F,G，$\triangle HIJ$形状保持不变
旋转位似1.ggb (20.45 KB)

下载次数: 5558

2019-8-9 13:01

信步千山

回复 4# hbghlyj

那个式子好象不太对。我觉得用两个点的复数x,y表示出第三个点的复数f_i(相当于平面向量基本定理？)的式子应当是这样的：
\[f_i(x,y)=a_ix+(1-a_i)y\]
$f_i$随着$a_i$的变化而变化。$a_i$相当于刻画了$△f_ixy$的形状。

信步千山

回复 6# hbghlyj

你那个式子太宽泛了，我觉得那样的推广估计很难成立。不知道图怎么作的，不好说(GGB中复数运算对应的图形的旋转缩放能表现出来？)
“破镜重圆”那个在《数学通讯》问题征解栏目1994年第6、7期上，是叶中豪提的。

信步千山

回复 4# hbghlyj

“对任意复数$z_1,z_2,z_3,f_1(z_1,z_2),f_2(z_2,z_3 ),f_3(z_3,z_1)$构成的所有三角形彼此都相似”与上一个条件使用了同样的字母，容易混淆。不如改成：
“对任意复数$a,b,c,f_1(b,c),f_2(c,a),f_3(a,b)$构成的所有三角形彼此都相似”。

将$f_1(b,c),f_2(c,a ),f_3(a,b)$用a,b,c表示出来，“$f_1(b,c),f_2(c,a),f_3(a,b)$构成的所有三角形彼此都相似”即是“$f_1(b,c),f_2(c,a),f_3(a,b)$构成的三角形的形状不变”，这等价于
\[\frac{f_1(b,c)-f_3(a,b)}{f_2(c,a)-f_3(a,b)}为常数。\]
由a,b,c的任意性，即是说：
\[f_1(b,c)-f_3(a,b)与f_2(c,a)-f_3(a,b)的对应项的系数成比例。\]
从而转化为系数$A_i,B_i,C_i(i=1,2,3)$应满足的条件。

所提问题即是说上述对于系数应满足的条件与"存在复数$z_1,z_2,z_3,使f_1(z_1,z_2)=f_2(z_2,z_3 )=f_3(z_3,z_1)$"所得的系数应满足的条件相同。
单从条件的个数(等式的个数)上说，我觉得这两者就不可能是相同的。

hbghlyj

回复 8# 信步千山
已经更新了GGB文件。GGB复数运算很方便的。
那么我们再缩小一下范围，添加条件$A_i+B_i=1(i=1,2,3)$如何？

hbghlyj

2019-8-9 22:49

今天做题又遇到了(2)的衍生题