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[组合] 满足$4x+3y+2z=n$的正整数对$(x,y,z)$的个数

本帖最后由 hbghlyj 于 2019-8-8 15:24 编辑

设$f\left(n\right)$为满足$4x+3y+2z=n$的正整数对$(x,y,z)$的个数,求f(2009)-f(2000)
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参考 http://kuing.orzweb.net/redirect ... =5531&pid=27824

PS、这题应该算 [组合] 吧

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本帖最后由 青青子衿 于 2019-8-8 14:46 编辑

回复 2# kuing
通项公式:
\begin{align*}
N\left(2,3,4\,;b\right)&=\begin{split}
&\phantom{+\,\,}\frac{1}{48}b^2+\frac{3}{16}b+\frac{107}{288}+\frac{1}{16}(b+1)\cos(\pi b)\\
&+\frac{7}{32}\cos(\pi b)+\frac{2}{9}\cos\left(\frac{2\pi}{3}b\right)+\frac{1}{8}\cos\left(\frac{\pi}{2}b\right)+\frac{1}{8}\cos\left[\frac{\pi}{2}(b+1)\right]
\end{split}\\
\\
N\left(2,3,4\,;b\right)&=\operatorname{round}\left(\frac{\left(b+3\right)^2}{12}\right)-\operatorname{floor}\left(\frac{b+3}{4}\right)\cdot\operatorname{floor}\left(\frac{b+5}{4}\right)\\
\end{align*}
如果用这些“类取整函数”来表示这个通项公式,表示方法不唯一,应该还有其他形式……

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回复 2# kuing
所以我曾建议,应该细分些,比如初等数论主题分为不定方程、阶与原根、连分数、素数分布、数论函数,最好能多选

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回复 4# hbghlyj

拒绝

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