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[不等式] 求导会 求简单的解法

$a,b>0,\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1,find, max:
\sqrt{\frac{4a}{2a+3b}}+\sqrt{\frac{2b}{6a+b}}$
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$a,b>0,\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1,find, max:
\sqrt{\frac{4a}{2a+3b}}+\sqrt{\frac{2b}{6a+b}}$
facebooker 发表于 2019-8-7 15:36
你有没有抄错题?照所求这个式,由于已经齐次,那么 1/a+2/b=1 这一条件根本是多余的。

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\[\text{原式}=\sqrt2\sqrt{\frac1{1+3\cdot\frac b{2a}}}+\sqrt2\sqrt{\frac1{1+3\cdot\frac{2a}b}},\]所以还是转化为 `x`, `y>0`, `xy=1` 求 `1/\sqrt{1+kx}+1/\sqrt{1+ky}` 的最值问题,以前撸过好几回了……
(由此也可以看出条件那等式是没用的)
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 3# kuing

多谢。 确实那条件多余了

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翻查了以前的记录,结论都不完整,再重新写一次吧……

给定实数 `k>0`,正数 `x`, `y` 满足 `xy=1`,记
\[f=\sqrt{\frac1{1+kx}}+\sqrt{\frac1{1+ky}},\]讨论 `f` 的取值范围。

解:两边平方并利用 `xy=1` 得
\begin{align*}
f^2&=\frac1{1+kx}+\frac1{1+ky}+\frac2{\sqrt{(1+kx)(1+ky)}}\\
&=1+\frac{1-k^2}{(1+kx)(1+ky)}+\frac2{\sqrt{(1+kx)(1+ky)}},
\end{align*}显然 `\sqrt{(1+kx)(1+ky)}\geqslant1+k`,故令
\[t=\frac1{\sqrt{(1+kx)(1+ky)}}\in\left( 0,\frac1{1+k} \right],\]则
\[f^2=(1-k^2)t^2+2t+1,\]这就变成了简单的二次函数讨论了。

当 `k\in(0,2]` 时递增;当 `k\in(2,3)` 时先增后减且右端高于左端;当 `k\in[3,+\infty)` 时先增后减且右端不高于左端(注意左右端齐平时虽然左端不能取但右端能取,故最小值也存在)。
由此得到最终结论为
\[
f\in\led
&\left( 1,\frac2{\sqrt{1+k}} \right], && k\in(0,2],\\
&\left( 1,\frac k{\sqrt{k^2-1}} \right], && k\in(2,3),\\
&\left[ \frac2{\sqrt{1+k}},\frac k{\sqrt{k^2-1}} \right], && k\in[3,+\infty).
\endled
\]

回到原题的话就是第三类,可得
\[\sqrt{\frac{4a}{2a+3b}}+\sqrt{\frac{2b}{6a+b}}\in\left[ \sqrt2,\frac32 \right].\]
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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