繁體
|
簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
(檢舉)
分享
新浪微博
QQ空间
人人网
腾讯微博
Facebook
Google+
Plurk
Twitter
Line
快速注册
登录
论坛
搜索
帮助
原始风格
brown
purple
green
red
orange
gray
pink
violet
blue
greyish-green
jeans
greenwall
私人消息 (0)
公共消息 (0)
系统消息 (0)
好友消息 (0)
帖子消息 (0)
应用通知 (0)
应用邀请 (0)
悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 一个单调不减的数列
返回列表
发帖
hbghlyj
发短消息
加为好友
hbghlyj
当前离线
UID
2861
帖子
2697
主题
957
精华
0
积分
17872
威望
31
阅读权限
90
在线时间
2574 小时
注册时间
2018-10-13
最后登录
2023-9-28
1
#
跳转到
»
倒序看帖
打印
字体大小:
t
T
发表于 2019-8-7 00:06
|
只看该作者
[数列]
一个单调不减的数列
数列{$a_n$}满足$a_1=1,a_{2k}=a_{2k-1}+a_{k},a_{2k+1}=a_{2k}$,证明:对于正整数$n\geq3$,均有$a_{2^n}\lt2^{\frac{n^2}{2}}$
收藏
分享
realnumber
发短消息
加为好友
realnumber
当前离线
UID
37
帖子
1723
主题
405
精华
0
积分
10201
威望
2
阅读权限
90
性别
男
在线时间
2772 小时
注册时间
2013-6-21
最后登录
2022-4-25
2
#
发表于 2019-8-7 09:34
|
只看该作者
数学归纳法可以写的
$a_8=a_9=10<16<2^{n^2/2}$,记$t=2^{n-1}$
\[a_{2^n}=a_{2^n-1}+a_t=a_{2^n-2}+a_t=a_{2^n-4}+(a_{t-1}+a_t)=a_{2^n-6}+(a_{t-2}+a_{t-1}+a_t)\]
\[......\]
\[a_{2^n}=a_{2^n-t}+(a_{t-2^{n-2}+1}+...+a_{t-2}+a_{t-1}+a_t)<2^{\frac{(n-1)^2}{2}}(2^{n-2}+1)\]
只要证明$2^{\frac{(n-1)^2}{2}}(2^{n-2}+1)<2^{\frac{n^2}{2}}$
即要证明$2^{n-2}+1<2^{n-1}<2^{n-0.5}$,完
TOP
hbghlyj
发短消息
加为好友
hbghlyj
当前离线
UID
2861
帖子
2697
主题
957
精华
0
积分
17872
威望
31
阅读权限
90
在线时间
2574 小时
注册时间
2018-10-13
最后登录
2023-9-28
3
#
发表于 2019-8-7 12:25
|
只看该作者
回复
2#
realnumber
易知{$a_n$}是一个单调不减的数列,对于$i \geq 2, a_{2i}-a_{2i-2}=\left(a_{2i-1}+a_{i}\right)-a_{2i-1}=a_{i}$
$a_{2^{m+1}}-a_{2^m}=\sum_{i=2^{m-1}+1}^{2^{m}}\left(a_{2 i}-a_{2i-2}\right)=\sum^{2^m}_{i=2^{m-1}+1}a_i \leq 2^{m-1}a_{2^m}$
从而$\frac{a_{2^{m+1}}}{a_{2^m}}\leq2^{m-1}+1\lt2^m$
对于任意正整数$n \geq3$,都有$a_{2^n}=a_4 \prod^{n-1}_{m=2}\frac{a_{2^{m+1}}}{a_{2^m}}\lt4\prod^{n-1}_{m=2}2^m\lt2^{\frac{n^2}2}$
TOP
返回列表
回复
发帖
[收藏此主题]
[关注此主题的新回复]
[通过 QQ、MSN 分享给朋友]