易知 `f^n(x)` 的次数是 `2^n`,为方便书写记 `p=2^n`,假设
\[f^n(x)=x^p+a_nx^{p-1}+b_nx^{p-2}+\cdots,\]则
\begin{align*}
f^{n+1}(x)&=(x^2-x+1)^p+a_n(x^2-x+1)^{p-1}+\cdots \\
&=x^{2p}-px^{2p-1}+(p+C_p^2+a_n)x^{2p-2}+\cdots,
\end{align*}故
\begin{align*}
a_{n+1}&=-p=-2^n,\\
b_{n+1}&=p+C_p^2+a_n=2^n+2^{n-1}(2^n-1)-2^{n-1}=2^{2n-1},
\end{align*}所以对二次及以上迭代的所有根的平方和为 `a_{n+1}^2-2b_{n+1}=0`。 |