[函数] 找到中间的数

hbghlyj

数系$S=\{\frac{mn}{m^2+n^2},m,n∈\mathbf{N}\}$证明若x,y∈S,x<y则存在z∈S,x<z<y

realnumber

令$t=\frac{m}{n}$，$\frac{mn}{m^2+n^2}=\frac{1}{\frac{m}{n}+\frac{n}{m}}=\frac{1}{t+\frac{1}{t}}=f(t)$ ,0<t<1,f(t)单调递增.
不妨设 $x=\frac{m_1n_1}{m_1^2+n_1^2}=f(\frac{m_1}{n_1}),m_1<n_1,y=\frac{m_2n_2}{m_2^2+n_2^2}=f(\frac{m_2}{n_2}),m_2<n_2$,
因为$\frac{m_1}{n_1}<\frac{m_1n_2+m_2n_1}{2n_1n_2}<\frac{m_2}{n_2}$
取$z=\frac{m_1n_2+m_2n_1}{2n_1n_2}$,即符合题意.

色k

难得在 [数论] 分类里面有个能看懂的简单题

hbghlyj

回复 3# 色k
谢谢纠正。已改。换成了[函数]标签。