限定分母最接近某个无理数的既约分数

青青子衿

1. M = 20;
   
2. Table[Nearest[1/i*Select[Range[i], GCD[#, i] == 1 &],
   
3.     1/Sqrt[5]], {i, 2, M}] // Flatten
   
4. Nearest[Flatten[
   
5.   Table[Nearest[1/i*Select[Range[i], GCD[#, i] == 1 &],
   
6.     1/Sqrt[5]], {i, 2, M}]], 1/Sqrt[5]]
   
7. Table[
   
8.    Nearest[Flatten[
   
9.       Table[Nearest[1/i*Select[Range[i], GCD[#, i] == 1 &],
   
10.       1/Sqrt[5]], {i, 2, k}]], 1/Sqrt[5]], {k, 2, M}] // Flatten

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色k

这种一般我都是用连分数来搞：
Table[FromContinuedFraction[ContinuedFraction[1/Sqrt[5], n]], {n, 5}]
输出 {0, 1/2, 4/9, 17/38, 72/161}

青青子衿

回复 2# 色k
但是我想要得到  满足条件且关于自然数作分母的“既约分数”列呀
“既约分数”就是“最简分数”

kuing

回复 3# 青青子衿

没懂，能不能将问题完事地描述一下。

青青子衿

回复 4# kuing
比如下列这些分数就是既约分数
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}&&\\
\\
\dfrac{1}{3}&&\dfrac{2}{3}\\
\\
\dfrac{1}{4}&&{}&&\dfrac{3}{4}\\
\\
\dfrac{1}{5}&&\frac{2}{5}&&\dfrac{3}{5}&&\dfrac{4}{5}\\
\\
\dfrac{1}{6}&&{}&&{}&&{}&&\dfrac{5}{6}\\
\end{align*}
然后找每一行（注意是按行找）最接近\(\,\dfrac{1}{\sqrt5}\,\)的分数
然后列出这样的序列：1/2, 1/3, 1/4, 2/5, 1/6, 3/7, 3/8, 4/9, 3/10, ……

色k

回复 5# 青青子衿

这样说就清楚了，关键就是这个“找每一行（注意是按行找）”，我当时就是没看出这一点，以为是找逼近数列之类的东西

kuing

顺便记录一个，利用 FareySequence[n]，就是 [0,1] 内的分母不超过 n 的既约分数由小于大的排列。
Nearest[FareySequence[20], 1/Sqrt[5]]
输出 {4/9} ，就是分母不超过 20 的最接近 `1/\sqrt5` 的既约分数。
Nearest 还可以再多一个参数，如
Nearest[FareySequence[20], 1/Sqrt[5], 3]
则列出的是最接近的 3 个 {4/9, 9/20, 5/11} ，由近到远。