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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 凯莱-门格行列式的应用举例
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发表于 2019-8-5 20:20
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[几何]
凯莱-门格行列式的应用举例
本帖最后由 hbghlyj 于 2019-8-9 00:59 编辑
(1)已知六边形ABCDEF的各边和对角线AD,BE,CF长,求AC,AE的长,并判断能否用尺规作出
(2)给定△ABC,点P到△ABC顶点A,B的距离为PA,PB,求PC(旋转位似变换,余弦定理,有向面积+海伦公式亦可解)
(3)给定△ABC,求△ABC的费马点到三顶点的距离之和
另见
最小覆盖圆问题
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发表于 2019-8-9 00:43
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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-8-9 00:45 编辑
(2)由 凯莱-门格行列式
\[\begin{vmatrix}
0&AB^2&AC^2&AP^2&1\\
AB^2&0&BC^2&BP^2&1\\
AC^2&BC^2&0&CP^2&1\\
AP^2&BP^2&CP^2&0&1\\
1&1&1&1&0
\end{vmatrix}=0\]
将有向面积[ABC]+[BCP]+[CAP]+[ABP]=0用海伦公式展开与上面等价
$$CP = \sqrt {\frac{{{\text{A}}{{\text{P}}^2} + {\text{B}}{{\text{P}}^2} + {\text{A}}{{\text{C}}^2} + {\text{B}}{{\text{C}}^2} - {\text{A}}{{\text{B}}^2}}}{2} + \frac{{\left( {{\text{A}}{{\text{C}}^2} - B{C^2}} \right)\left( { - {\text{A}}{{\text{P}}^2} + {\text{B}}{{\text{P}}^2}} \right) + {\text{A}}{{\text{C}}^2}}}{{2{\text{A}}{{\text{B}}^2}}} \pm \frac{{\left[ {ABC} \right]\left[ {ABP} \right]}}{{{\text{32A}}{{\text{B}}^2}}}} $$
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发表于 2019-8-9 00:53
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求等边△ABC三顶点的边长,已知点P到三顶点的距离为4,7,9.
由凯莱-门格行列式
$$\begin{vmatrix}
0 & {{x^2}} & {{x^2}} & {{4^2}} & 1 \\
{{x^2}} & 0 & {{x^2}} & {{7^2}} & 1 \\
{{x^2}} & {{x^2}} & 0 & {{9^2}} & 1 \\
{{4^2}} & {{7^2}} & {{9^2}} & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
\end{vmatrix} = -6338 x^2 + 292 x^4 - 2 x^6=0$$
方程正根为$\sqrt {73 \pm 12\sqrt {15} } $
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发表于 2019-8-9 00:56
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3#
hbghlyj
抛出两个问题:
Ⅰ方程的根x=0的几何意义是?
Ⅱ哪个根对应点P在形内,哪个对应P在形外?
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hejoseph
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发表于 2019-8-9 09:27
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4#
hbghlyj
那个行列式与四面体 $ABCP$ 的体积有关,体积为 0 就是共面时的情形。点在形内形外计算下重心坐标,有了点到三顶点的距离就能确定重心坐标了。
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hejoseph
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发表于 2019-8-9 09:56
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本帖最后由 hejoseph 于 2019-8-9 09:57 编辑
另外,那个行列式是五阶行列式,实际计算是相当麻烦的,还不如记住另一种形式:
设
\begin{align*}
p_1&=(AB\cdot CP)^2\cdot(-AB^2+AC^2+BC^2+AP^2+BP^2-CP^2)\\
p_2&=(AC\cdot BP)^2\cdot(AB^2-AC^2+BC^2+AP^2-BP^2+CP^2)\\
p_3&=(BC\cdot AP)^2\cdot(AB^2+AC^2-BC^2-AP^2+BP^2+CP^2)\\
p&=(AB\cdot AC\cdot BC)^2+(AB\cdot AP\cdot BP)^2+(AC\cdot AP\cdot CP)^2+(BC\cdot BP\cdot CP)^2
\end{align*}
则四面体 $ABCP$ 的体积 $V$ 为
\[
V=\frac{\sqrt{p_1+p_2+p_3-p}}{12}
\]
行列式的值就等于 $2(p_1+p_2+p_3-p)$。
上面的 $p_1$、$p_2$、$p_3$、$p$ 是很好记的。$p_1$、$p_2$、$p_3$ 中前面的因式 $AB$ 和 $CP$、$AC$ 和 $BP$、$BC$ 和 $AP$ 分别是三组对棱,后面的因式是 $AB^2$、$AC^2$、$BC^2$、$AP^2$、$BP^2$、$CP^2$ 的代数和,跟前面因式的线段相同的取 $-$,其余取 $+$。$p$ 中(1)$AB$、$AC$、$BC$(2)$AB$、$AP$、$BP$(3)$AC$、$AP$、$CP$(4)$BC$、$BP$、$CP$ 分别是四面体 $ABCP$ 四面的三角形各边长。
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青青子衿
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发表于 2020-4-18 12:09
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本帖最后由 青青子衿 于 2020-4-18 12:16 编辑
\begin{gather*}
&\color{black}{\begin{split}
&\left|AB\right|=a&\qquad&\left|CD\right|=c&\qquad&\left|AC\right|=e\\
&\left|BC\right|=b&\qquad&\left|DA\right|=d&\qquad&\left|BD\right|=f
\end{split}}\\
\\
&\color{black}{\left\{\begin{split}
p=&(a^2 - b^2) (c^2 - d^2) + (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) e^2 - e^4\\
\\
q=&(a^2 c^2 - b^2 d^2) (a^2 + c^2 - b^2 - d^2) + (a^2 - d^2) (b^2 - c^2) e^2\\
\end{split}\right.}\\
\\
&\color{black}{\Large{e^2 f^4 -pf^2 +q=0}}
\end{gather*}
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