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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 一道与阿氏圆相关的几何题,希望用初中解法
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lrh2006
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发表于 2019-8-3 18:34
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[几何]
一道与阿氏圆相关的几何题,希望用初中解法
请教一个问题,请用初中生能看懂的方法做,不要用导数这些,最好能用到阿氏圆。谢谢大家!
已知△ABC的面积为定值,∠A的平分线交BC于点D,AB=2AC,且AD=kAC,当BC的长度最短时,k=?
答案提示:当点A到BC距离最大时,BC长度最小,此时点A到BC距离为阿氏圆的半径。答案是5分之2根号10
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kuing
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发表于 2019-8-3 20:59
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只看该作者
阿氏圆对于初中生也未必会熟悉,初中解法可以这样:
2019-8-3 20:58
如图,取 `AB` 中点 `E`,则 `\triangle AED\cong\triangle ACD`,
延长 `BC` 至 `F` 使 `CD=CF`,则由 `AB=2AC` 得 `DB=2DC=DF`,故 `DE` 为 `\triangle ABF` 的中位线,所以 `\angle FAD=\angle EDA=\angle FDA`,即 `\triangle FAD` 为等腰三角形。
要 `BC` 最短相当于要 `\triangle FAD` 的腰最短,而由 `\triangle ABC` 面积为定值知 `\triangle FAD` 的面积也为定值,所以当且仅当 `FA\perp FD` 时腰最短,此时不妨设 `FA=FD=2`,则 `AD=2\sqrt2`, `AC=\sqrt5`,故 `k=AD/AC=2\sqrt{10}/5`。
PS、标题一如既往地短……
PS2、你啥时候上上Q呀……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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其妙
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发表于 2019-8-3 21:35
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只看该作者
下面链接例文章的中后半部分有阿氏圆:
http://blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101j39b.html
,
角平分线的比例是1:2,在链接里是1:3,是类似的,
不过用的建立坐标系做的,也可以从特殊点找到阿氏圆的直径,就好办了
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lrh2006
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发表于 2019-8-5 22:49
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只看该作者
知道了,谢谢楼上两位哟。论坛真好
PS、不知道怎么写标题才合版主的心意...你就帮我改改嘛,或者,教教我?
PS2、我有上的啊。只是前阵子手机手提都坏了,拿去修,把我QQ都弄不好了...
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kuing
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发表于 2019-8-5 23:05
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lrh2006
已改,其实就是放点关键词上去就好了,答案提到阿氏圆,这就是个很好的关键词,至于后半句可加可不加……
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