[几何] I.J.Matrix定理和一类几何不等式

本帖最后由 hbghlyj 于 2019-8-9 04:32 编辑

(1)P,Q是平面上任意两点,求证:
$\frac{AP \cdot AQ}{AB \cdot AC}+\frac{BP \cdot BQ}{BC \cdot BA}+\frac{CP \cdot CQ}{CA \cdot CB}≥1$,当且仅当P,Q等角共轭时取等
见《平面几何中的小花》81等角共轭点
http://kuing.orzweb.net/viewthre ... D%E7%AD%89%E5%BC%8F
(2)P是平面上任一点,求证:
$\frac{AP \cdot AP}{AB \cdot AC}+\frac{BP \cdot BP}{BC \cdot BA}+\frac{CP \cdot CP}{CA \cdot CB}≥1$,当且仅当P为主心时取等

kuing

2^#

发表于 2019-8-1 15:16 | 只看该作者

复数法咯，见《撸题集》P.120 中间

TOP

hbghlyj

3^#

发表于 2019-8-1 15:17 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2019-8-8 22:35 编辑

(1)恒等式$\sum {\frac{{\left(a-p\right)\left(a-q\right)}}{{\left(a - b\right)\left(a-c\right)}}}  = 1$
推广是Lagrange
(2)恒等式$\sum{\frac{{\left(a-p\right)^2}}{{\left(a - b\right)\left(a-c\right)}}}  = 1
即\sum {\frac{{b - c}}{{a -p}}}  = \prod {\frac{{b - c}}{{a - p}}} $
推广是广义Fibonacci
如果把(1)的分子拆开用广义Fibonacci能证明吗？

TOP

hbghlyj