[函数] 缺席函数

hbghlyj

我们知道,过一个不在二次曲线上的定点的直线与这条曲线的两个交点A,B可以定义一个对合f,即f(A)=B↔f(B)=A,所以对合其实就是取“剩下的根”的操作
如果换作三次曲线,我们固定一个根,另外两个根也有取“剩下的根”的操作,也就是说,过一个在三次曲线上的定点的直线与三次曲线的另外两个交点之间定义一个对合.
对合可视为一元缺席函数：n元函数$f(x_1,\ldots,x_n)$若满足
①$f(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_j,\ldots,x_n)=f(x_1,\ldots,x_j,\ldots,x_i,\ldots,x_n)$
②$f(x_1,\cdots,x_n)=x_{n+1}$→$f(x_1,\cdots,x_{n+1})=x_n$
则称$f(x_1,\ldots,x_n)$为缺席函数.f将它的定义域的每n个元素分成一组,每组的元素的地位是对称的,每次输出缺席的那一个.
曲线上两点A,B的直线与三次曲线的第三个交点为C,则函数f(A,B)=C为二元缺席函数
对于平面上的点可以定义三元缺席函数,由于性质①,这个函数是三角形的正规心.已知的有$X_{4},X_{15/16},X_{74},X_{175/176},X_{1138}$.特别是垂心,有"垂心组"的概念,也如连环点$X_{175}$和$X_{176}$(见梁绍鸿的著作的附录453页),有"连环形"的概念.
另外,$X_{15/16},X_{175/176}$是无法区分的互相纠缠的两个点.比如在某些三角形中满足$X_{15}BC$的$X_{15}$是A,在某些三角形中满足$X_{15}BC$的$X_{16}$是A,具体如何区分情况有待研究！！

hbghlyj

等轴双曲线的性质：任意内接三角形的垂心仍在曲线上
在等轴双曲线xy=1上用笛卡尔坐标的横坐标建立一维坐标系,取三个点,其坐标为a,b,c,
与直线AH$:y=-\frac{b-c}{\frac 1 b-\frac 1 c}(x-a)+\frac1a$联立得垂心D的坐标为$-\frac1{abc}$
所以我们可以把"垂心组"用等轴双曲线上的坐标整理为对称的形式:\[abcd=-1\]

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目前发现的满足缺席性质的正规心P是$X_4,X_{74},X_{1138}$,它们各自对应于一个特征线L,且P是使得BCP,CAP,ABP,ABC中的L四线平行的点.
△ABC和$X_{74}$,设H和X为△ABC的垂心和$X_{52}$(垂三角形的垂心)类似定义$H_A,X_A;H_B,X_B;H_C,X_C$,求证HX∥$H_AX_A$∥$H_BX_B$∥$H_CX_C$
这个定理可以推广为(没有四线平行了,只有三线平行)
给定△ABC及其外心O、垂心H、Euler线上无穷远点的等角共轭点D，X是其Jerabek双曲线上-一点，$H_A$是△BCD垂心，U、V分别是$H_A$在DC、DB.上的投影.作一点Y使得UY∥BX,VY∥CX,证明OX∥$H_AY$.(By llddeddym)
证明:注意到△BOC和△U$H_A$V有一个正交中心D，故满足存在点Y使得UY∥BX,VY∥CX,OX∥$H_A$Y的点X的轨迹为过BOCD的等轴双曲线,即为Jerabek双曲线.
推论:令X趋近于O，此时OX为Jerabek双曲线在O处切线,这恰为O和切线三角形垂心连线(二者Cevapoint为H),又由切线三角形和垂三角形位似立得其与H和垂三角形垂心连线平行，故立得OABC、△BCD、△CAD、△ABD的垂心与垂三角形垂心连线四线平行.

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2020-8-15 21:48

hbghlyj

总结一下,我们研究三元缺席函数所对应的四点组的对称性已经有了三个思路:
①R是二元对称关系,f是二元对称函数,容易验证,满足以下条件的d是关于a,b,c的缺席函数
R(f(a,b),f(c,d))
R(f(b,c),f(a,d))
R(f(c,a),f(b,d))
只要取适当的R和f,使得对任何实数a,b,c,满足条件的d存在且唯一.举个例子:
R(a,b)={<a,b>|a+b=1},f(a,b)=a+b
那么得到三个方程
a+b+c+d=1
b+c+a+d=1
c+a+b+d=1
三个方程同解,即d(a,b,c)=1-a-b-c
那么d(a,b,d)=1-a-b-(1-a-b-c)=c,符合要求
这个思路已经解决了$X_{4}$(AB⊥CD)和$X_{15/16}$(AX/BC是定值),但是对于其他的点毫无头绪
②将三角形内接到一个合适的曲线里,然后建立合适的坐标系,整理成
这个方法已经解决了$X_4$。并且尝试把3#的例子1-a-b-c用2#的等轴双曲线坐标对应到一个三元缺席函数,但是没有解决。
我迫切地想要解决$X_{74}$，因为它们已经自然地内接到同一个圆了，但是还没有得出关于这四个点的对称式子。
③四条特征线平行(思路来自网友Forever豪3)
这个是①的特殊情况,因为两线平行是一个等价关系.已经解决了$X_4$(垂足三角形是公用的,所以只要举出垂足三角形的一个特征线即可),$X_{74}$(垂心和垂三角形的垂心的连线),$X_{1138}$(四个欧拉线平行),我们迫切地想要解决$X_{15/16}$(Forever豪3认为因为等力点的垂足三角形是等边,等边的特征线都退化了,所以可以抛弃它们)和$X_{175/176}$
要满足那个性质的话，四线共点即可，不需要平行吧？
有可能四个特征线共点只有一个约束，例如K001上的点都有欧拉线共点
奇妙性质：若D在ABC的K001上,则A也在BCD的K001上
另外,所有已知的点除了$X_{175/176}$之外都在K001上：

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2020-8-15 22:43

但是一般情况下,四线共点是两个约束,一个点的坐标也是两个约束
目前还有一个布洛卡轴平行的神秘点
似乎没有在ETC Search里查到布洛卡轴平行的点
（已知这个点在圆(110,399,842)和Neuberg上）