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发表于 2019-7-31 22:15 | 只看该作者

[几何] 牛顿线问题合集

本帖最后由 hbghlyj 于 2019-8-3 00:27 编辑

牛顿定理：和完全四线形四边相切的有心圆锥曲线的心的轨迹是一条直线,称为牛顿线.
牛顿定理证明集锦
椭圆退化成线段时，定理退化为：完全四线形三条对顶线中点共线。用梅氏定理易证。下面的“牛顿定理”均指其退化情形。
(1)

这是面积法(加粗表示有向面积)，听说还有牛顿定理的证法，于是画了牛顿线KMN，但怎么用？

在特例(2)中由于平四对角线互平分，再用一个中位线定理就搞定了
另外，我对于这个充要条件不太满意，能否归结为两个三角形之间的关系而把两个特例统一起来？

hbghlyj

2^#

发表于 2019-8-2 19:20 | 只看该作者

(2)牛顿定理对于圆的特例：定量几何三大支柱的证明方法集齐

面积法

向量法

坐标法

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hbghlyj

3^#

发表于 2019-8-2 19:20 | 只看该作者

(3)牛顿定理关于点B作2:1位似就得到

听说这题就是以这个为模型的

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hbghlyj

4^#

发表于 2019-8-3 00:30 | 只看该作者

(4)

X在牛顿线上，后面就容易了，也可直接面积
它是双心四边形一个性质的推广

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hbghlyj

5^#

发表于 2019-8-3 00:34 | 只看该作者

(5)

坐标法

直线系的巧妙运用减小了不少计算量。此题纯几方法用牛顿线，上下两边中点可以推广到定比分点。可以建斜坐标系，更加方便

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hbghlyj

6^#

发表于 2019-8-3 00:37 | 只看该作者

(6)

Rt△ABC~Rt△ADE,BE,DC交于F点,连接AF,证明：∠DEC与∠FAE相等或互补
Screenshot_2019_0802_231924 (1).jpg

三中点共线然后≌
疑似(1)？

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hbghlyj

7^#

发表于 2019-8-3 00:46 | 只看该作者

(7)△ABC中D,E,F为三边中点，M为形内一点,G,H,I分别为AM,BM,CM与BC,CA,AB交点,K,L,J为HG,IH,GI中点,求证：DL,EJ,FK共点
Screenshot_2019_0802_231924 (1).jpg

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hbghlyj

8^#

发表于 2019-8-3 01:02 | 只看该作者

(8)已知E、F分别在Rt△ABC的直角边AC、AB上，BE、CF交于D，⊙AEF交外接圆于P.求证：(1)AP⊥PD.(2)BF,CE的中垂线与PD共点
"南山菊"解答
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