k版一下子就把这些题杀光了呀?这儿也有一道关于三角形的:
设$a$,$b$,$c$是一个给定的三角形的三边长,若正实数$x$,$y$,$z$满足$x+y+z=1$,求$axy+byz+czx$的最大值。
其妙 发表于 2019-7-31 21:15 这个用上次这帖 http://kuing.orzweb.net/redirect ... =6348&pid=32674 的 7# 的方法撸就可以了,过程略。
这里想说的是变量的范围其实可以更大:
命题:若实数 `a`, `b`, `c` 满足 `abc\ne0` 且 `2ab+2bc+2ca\geqslant a^2+b^2+c^2`,则对任意实数 `x`, `y`, `z` 恒有
\[(x+y+z)^2\geqslant\frac{2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2}{abc}(ayz+bzx+cxy).\]
证明:为方便书写记 `T=2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2\geqslant0`,不等式可整理为
\[x^2+y^2+z^2\geqslant2(pyz+qzx+rxy),\]其中
\[p=\frac T{2bc}-1,\,q=\frac T{2ca}-1,\,r=\frac T{2ab}-1,\]由
\[1-p^2=\frac{(b+c-a)^2T}{4b^2c^2}\geqslant0,\]得 $\abs p\leqslant1$,同理 $\abs q$, $\abs r\leqslant1$,且不难验证
\[p^2+q^2+r^2+2pqr=1,\]于是,根据这帖 http://kuing.orzweb.net/redirect ... =5263&pid=26005(14#)的结论可知不等式成立。 |