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求电偶极子的电场线方程

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2013-11-2 16:14

此图既有等势线,也有电场线,它们相互正交!!
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学一点复变函数就简单了。或者参见流体力学中的势流理论。

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回复 2# 其妙
不是也很有趣吗?
数学与物理本身就是密不可分的,解决数学问题可以用物理方法,如:求曲率半径、求最速降线、极小曲面……,解决物理问题可以用数学方法,如:变力做功,求转动惯量……
牛顿最有名的书不也是《自然哲学的数学原理》吗!

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回复 4# 其妙

其实我也不知道有没有错,这些东东都没正式学过……

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强中更有强中手!
让我们怀疑kk是不是北大(或其他校)的学生哦?

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先求电势的等值面方程,不妨设电偶极子的坐标 $q^+:(1,0)$, $q^-:(-1,0)$,平面上任一点 $M(x,y)$ 的电势为 $U$,则
\[
U=\frac q{4\pi\veps}\left( \frac1{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}-\frac1{\sqrt{(x+1)^2+y^2}} \right),
\]
设电场线方程为 $f(x,y)=0$,由于正交,有 $\nabla U\cdot \nabla f=0$,即
\[U_xf_x+U_yf_y=0,\]
对于 $f$,因为 $\rmd y/\rmd x=-f_x/f_y$,故
\[U_x\rmd y=U_y\rmd x,\]

\[
\left( \frac{x+1}{\sqrt{((x+1)^2+y^2)^3}}-\frac{x-1}{\sqrt{((x-1)^2+y^2)^3}} \right)\rmd y=\left( \frac y{\sqrt{((x+1)^2+y^2)^3}}-\frac y{\sqrt{((x-1)^2+y^2)^3}} \right)\rmd x,
\]
$f$ 就是由这个微分方程确定,不知怎么解,估计解不出来。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 1# 青青子衿
来了数学,又来物理,左右开弓啊?

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