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[不等式] 一道不等式题

请教一下这一题
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2019-7-27 19:01
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你可能抄漏了某系数,请检查一下。

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blog9.png
2019-7-27 23:49

用两种以上的方法
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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回复 4# 其妙

其实化为单变量求导,以及先猜结果 `2/3` 再对 `P-2/3` 强行通分分解,这些 Bao 力流都必定能做,这就已经算是两种证法了,你的意思大概这些都不在考虑范围吧?……

显然只需考虑 `a`, `b>0` 时,故下面的证法均按此设。

法一:用 3# 链接中的链接中的均值法再加个小 CS
\begin{align*}
P&=\frac{ab}{a^2+a^2+b^2}+\frac{ab}{a^2+b^2+b^2}\\
&\leqslant\frac b{a+2b}+\frac a{2a+b}\\
&\leqslant\frac b9\left( \frac4{a+b}+\frac1b \right)+\frac a9\left( \frac4{a+b}+\frac1a \right)\\
&=\frac23,
\end{align*}当 `a=b` 时取等;

法二:在上面放缩到第二行时也可以用另一种 CS,麻烦一点儿
\begin{align*}
\cdots&=1-\frac12\left( \frac a{a+2b}+\frac b{2a+b} \right)\\
&\leqslant1-\frac12\cdot\frac{(a+b)^2}{a(a+2b)+b(2a+b)}\\
&=1-\frac12\cdot\frac{(a+b)^2}{a^2+4ab+b^2}\\
&\leqslant1-\frac12\cdot\frac23=\frac23;
\end{align*}

要两种以上,那就给够三种吧,先耍个赖,将法一改写,变成:
法三:因为
\[\frac{ab}{2a^2+b^2}-\frac{a+5b}{9(a+b)}=-\frac{(a-b)^2(2a+5b)}{9(a+b)(2a^2+b^2)}\leqslant0,\]同理有另外一式,故
\[P\leqslant\frac{a+5b}{9(a+b)}+\frac{5a+b}{9(a+b)}=\frac23;\]
不过这么明显的改写行为,恐怕大家也不会买帐,那这个就不算,扔掉再来……

又用一下这两天连续用了两次的齐次菊部构造,顺便带点装逼效果
法三:因为
\[\frac{x^3}{2x^6+1}-\frac23\cdot\frac1{x^2+1}=-\frac{(x-1)^2(4x^4+5x^3+6x^2+4x+2)}{3(x^2+1)(2x^6+1)}\leqslant0,\]令 `x^3=a/b` 即得
\[\frac{ab}{2a^2+b^2}\leqslant\frac23\cdot\frac{b^{2/3}}{a^{2/3}+b^{2/3}},\]同理
\[\frac{ab}{a^2+2b^2}\leqslant\frac23\cdot\frac{a^{2/3}}{a^{2/3}+b^{2/3}},\]相加即得 `P\leqslant2/3`。

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回复 5# kuing []}

法一的放缩我也考虑过,运气不好的是放缩后分母不一样,不像以前的的帖子,放缩后再约分后分母是一样的,便于相加后为常数,然kk居然能用柯西拯救回来(当然也曾经这样放缩过);方法二和我想的差不多(也可以考虑分母换元);方法三正好说明可以适当放缩后,使分母一样,便于相加后为常数,即为菊部不等式,这正是我想要的效果,只是诧异的是只能放缩为含指数形式的(以前也见过不少这类指数形式的放缩,却是无论如何也想不到的),厉害!

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回复 6# 其妙
例如:
blog10.jpg
2019-8-4 17:53
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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再如(不过连小菜都算不上,):
blog11.jpg
2019-8-4 17:53
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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看来楼主是不会来修改 1# 的题目了,那我就丢个一般系数结果出来好了:

给定正数 `k`,有
\[\frac{xy}{kx^2+y^2}+\frac{xy}{x^2+ky^2}=\frac{k+1}{ka+\frac{(k-1)^2}a},\]其中
\[a=\frac xy+\frac yx\in[2,+\infty),\]于是:

(1)当 `(k-1)^2<4k`,即 `3-2\sqrt2<k<3+2\sqrt2` 时
\[\frac{xy}{kx^2+y^2}+\frac{xy}{x^2+ky^2}\leqslant\frac{k+1}{2k+\frac{(k-1)^2}2}=\frac2{k+1};\](2)当 `0<k\leqslant3-2\sqrt2\lor k\geqslant3+2\sqrt2` 时
\[\frac{xy}{kx^2+y^2}+\frac{xy}{x^2+ky^2}\leqslant\frac{k+1}{2\sqrt{k(k-1)^2}}.\]

所以,假如楼主是抄漏了第一个分母的系数 8 的话,那就属于情形(2),这时前面的那些 CS 解法之类的恐怕就没那么好使了。

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K神既然搞出个一般结沦  厉害

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