回复 4# 其妙
其实化为单变量求导,以及先猜结果 `2/3` 再对 `P-2/3` 强行通分分解,这些 Bao 力流都必定能做,这就已经算是两种证法了,你的意思大概这些都不在考虑范围吧?……
显然只需考虑 `a`, `b>0` 时,故下面的证法均按此设。
法一:用 3# 链接中的链接中的均值法再加个小 CS
\begin{align*}
P&=\frac{ab}{a^2+a^2+b^2}+\frac{ab}{a^2+b^2+b^2}\\
&\leqslant\frac b{a+2b}+\frac a{2a+b}\\
&\leqslant\frac b9\left( \frac4{a+b}+\frac1b \right)+\frac a9\left( \frac4{a+b}+\frac1a \right)\\
&=\frac23,
\end{align*}当 `a=b` 时取等;
法二:在上面放缩到第二行时也可以用另一种 CS,麻烦一点儿
\begin{align*}
\cdots&=1-\frac12\left( \frac a{a+2b}+\frac b{2a+b} \right)\\
&\leqslant1-\frac12\cdot\frac{(a+b)^2}{a(a+2b)+b(2a+b)}\\
&=1-\frac12\cdot\frac{(a+b)^2}{a^2+4ab+b^2}\\
&\leqslant1-\frac12\cdot\frac23=\frac23;
\end{align*}
要两种以上,那就给够三种吧,先耍个赖,将法一改写,变成:
法三:因为
\[\frac{ab}{2a^2+b^2}-\frac{a+5b}{9(a+b)}=-\frac{(a-b)^2(2a+5b)}{9(a+b)(2a^2+b^2)}\leqslant0,\]同理有另外一式,故
\[P\leqslant\frac{a+5b}{9(a+b)}+\frac{5a+b}{9(a+b)}=\frac23;\]
不过这么明显的改写行为,恐怕大家也不会买帐,那这个就不算,扔掉再来……
又用一下这两天连续用了两次的齐次菊部构造,顺便带点装逼效果:
法三:因为
\[\frac{x^3}{2x^6+1}-\frac23\cdot\frac1{x^2+1}=-\frac{(x-1)^2(4x^4+5x^3+6x^2+4x+2)}{3(x^2+1)(2x^6+1)}\leqslant0,\]令 `x^3=a/b` 即得
\[\frac{ab}{2a^2+b^2}\leqslant\frac23\cdot\frac{b^{2/3}}{a^{2/3}+b^{2/3}},\]同理
\[\frac{ab}{a^2+2b^2}\leqslant\frac23\cdot\frac{a^{2/3}}{a^{2/3}+b^{2/3}},\]相加即得 `P\leqslant2/3`。 |