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[组合] 黑板数字操作问题征解

本帖最后由 hbghlyj 于 2019-7-26 17:18 编辑

(1)黑板上写有数2,3…2006,甲乙两人轮流每次擦去一个数,当黑板上只剩下两个数时,这时如果黑板上的两个数互质,则甲胜否则乙获胜,问:谁有必胜策略
(2)黑板上写有数2,3…2005,甲乙两人轮流每次擦去一个数,当黑板上只剩下两个数时,这时如果黑板上的两个数互质,则甲胜否则乙获胜,问:谁有必胜策略
(3)黑板上写有数1,2…1000.甲乙两人轮流每次擦去一个数,当黑板上只剩下两个数时,若这两个数之和为3的倍数,则甲获胜,否则乙获胜,问:谁有必胜策略
(4)黑板上写有数1…1000,甲乙两人轮流每次擦去两个数并写上它们的差的绝对值,最后得到0则甲胜,最后得到2则乙胜,问:谁有必胜策略
(5)黑板上写着正整数n的所有正因数.甲乙两人轮流每次擦去一个数,第一次操作中甲将n擦去,若前一次操作中擦去数是d,则下一次操作中必须擦去d的倍数或约数,无法按上述规则进行操作者负。求所有可以使甲有必胜策略的n
(6)黑板上写有数1,2...100,甲乙两人轮流每次擦去一个数,先使黑板上数总和为2000者赢,问:谁有必胜策略
(7)甲乙两人轮流在黑板上写一个整数,写过后有数字或连续若干个数之和被11整除者输.问:谁有必胜策略?
(8)黑板上写有数1,2...81,甲乙两人轮流划掉任意连续的3个数.无法按上述规则进行操作者负。问:谁有必胜策略?
(9)甲乙两个人在黑板上轮流写1到10中的数字,先使两人写的数总和为2000者赢,问:谁有必胜策略?
(10)黑板上写有数1,2...101,甲乙两人轮流每次擦去9个数,擦了11次后,这时所余两数之差即为甲的得分,求甲得分的最小值。
(题目转载于网络或听课讲义或书籍,为了整齐化一,修改了部分字眼,未改变题意和数据)
现在还剩下(4)(5)(11)(13)(14)根本没有解答。另外
(3)10#没有做若甲先擦完3的倍数的情形
(10)1#没有证明最小性。
(12)13#没有证完.
(16)11#的估计不能取等。
1

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回复 1# hbghlyj
(10)甲第一次擦去47,48,49,…,55这个数,将剩下的数两两配对:{i,55+i},i=
1,2,…,46,同一对两数之差为55.在每次乙擦去9个数之后,甲的策略是甲擦去的9个数与乙擦去的9个数恰好组成上述46对数中的9对,这样一来,余下的两个数必须是上述46对数中的一对,这两个数之差必为55.可见甲可保证自己得55分

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-7-25 20:21 编辑

(11)设n为>1的奇数,黑板上写有数1,2…n,甲乙两人轮流擦去两个数a,b并写上|a-b|,若最后留下的数的三倍大于n,则甲胜,反之乙胜。问:游戏公平吗?
(12)在黑板上写下数1,2…n,甲乙两人轮流擦去两个数a,b并写上a+b,|a-b|并代替其中任两数a,b,若最后留下的数全相等,则甲获胜,证明:乙总能阻止甲获胜

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-7-25 18:45 编辑

回复 1# hbghlyj
(1)甲有必胜策略:先擦去2006,然后将剩下的2004个自然数分为1002组,(2,3)(4,5)…(2004,2005),乙擦去哪个组的一个数,甲接着就擦去同一组的另个数,这样最后剩下的两个数是相邻的两个数,而相邻的两个数是互质的,所以甲必胜;
(2)乙有必胜策略:①当甲始终擦去偶数时,乙留下一对不互质的奇数,例如,3和9,而擦去其余的奇数;②当甲从某一步开始擦去奇数时,乙可以跟着擦去奇数,这样最后给乙留下的三个数有两种情况,一种是剩下一个偶数和两个奇数3和9,此时乙擦掉那个偶数,另一种是至少两个偶数,此时乙留下两个偶数就可以了.

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-7-25 22:47 编辑

(13)黑板上写有数2...100,甲乙两人轮流每次擦去一个数及它的所有倍数,不能擦者负,问:谁有必胜策略
(14)黑板上写有数2...10,甲乙两人轮流擦去一个数,把自己擦的数加起来,累加的和先恰好达到100者胜,问:谁有必胜策略
(15)黑板上写有数1...10,甲乙两人轮流每次擦去一个数及它的所有约数,不能擦者负,问:谁有必胜策略
(16)黑板上写有数1…2000,每次擦去两个数a,b并写上|a-b|,$\sqrt{ab},\sqrt{ab}$三个数,如此进行8000次后得到了10000个数,问:这10000个数的最大数的最小值
(17)黑板上写有数$1,\frac12,\frac13,……,\frac1{100}$,每次操作擦去任意两个数a,b并写上数a+b+ab,经99次操作后,黑板上仅剩下一个数,求这个数的所有可能
(18)黑板上写有数1,2,...,20,每次擦去其中任何二数a与b并写上数ab+2a+2b+2,在进行了19次上述操作之后,黑板上剩下的数的末三位是多少?

(17)原网页答案只给了个猜测:
你大可用些小数字先寻找规律。如1+1/2+1/3=3.。。。。1+1/2+1/3+1/4=4.。。。。故可大胆猜测1+1/2+1/3+1/4+1/5+。。。。1/100=100

(18)原网页只给了得数
998
只要考虑 a,b的后3位即可。
与顺序无关。
用计算机算。
Mod[998*i + 2* 998 + 2 i + 2,1000]=998

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-7-26 14:50 编辑

回复 5# hbghlyj
(15)甲有必胜策略:甲先擦去1,2,3,6,把剩下的4,5,7,8,9,10分成三对(4,5)(7,9)(8,10).无论乙擦什么数,甲都可擦去其配偶.
当然也可(4,5)(8,10)(7,9)或(4,9)(5,7)(8,10)等等,只要组内两数大数不是小数的倍数即可

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回复 1# hbghlyj
(8)甲有必胜策略:1到81正中间的三个数是25,26,27,甲先划掉25,26,27,然后每当乙划掉任意(a,a+1,a+2)三个数时,甲均可划掉与之对称位置的(82-a,81-a,80-a)三个数

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(9)甲有必胜策略:将1...10分为5对(1,10)...(5,6),每对和为11,而2000=11×181+9,甲先写9,每次无论乙写什么数,甲写它的配偶,总和为11

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回复 1# hbghlyj
(6)甲有必胜策略:将1...100分为50对(1,100)(2,99)...(50,51),每对和为101,而5050-2000=101×30+20.甲先擦去20,每次无论乙写什么数,甲均可擦去它的配偶,总和为101.

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-7-26 17:35 编辑

回复 1# hbghlyj
(3)乙有必胜策略.500500=3×166833+1.当甲擦去除以3余0,1,2的数时,由于除以3余1和余2的数每次减少的个数相同,在3的倍数擦完之前,乙总可擦去除以3余0,2,1的数.若乙先擦完3的倍数,最后剩下的数必定除以3余1;若甲先擦完3的倍数,???
原网页

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-7-25 20:57 编辑

回复 5# hbghlyj
(16)由于$a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+(\sqrt{a b})^{2}+(\sqrt{a b})^{2}$,黑板上所有数的平方和是始终不变的.
$\sqrt{\frac{2000 \times 2001 \times 4001}{6 \times 10000} }$≈516.591,故最大数不小于517

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-7-25 22:15 编辑

(19)黑板上写有数5,6,甲乙两人轮流写正整数,若$a_1,a_2,…a_n$出现在黑板上,则形如$\sum_ia_ix_i$($x_i$为正整数)的数都不能写,不得不写1的人算输.问:谁有必胜策略

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-7-25 22:12 编辑

回复 3# hbghlyj
(12)先证明若最后留下的数全等于k,k只能取任何形如$2^t≥n$(t为正整数)的正整数:对于任何非负整数p≥q,p+q+p-q=2p,因此总和不减少,k≥$\frac{n+1}2$≥2.若p+q与p-q能被奇数d(≥3)整除,则p+q+
p-q=2p,p+q-p-q=2q也被d整除,从而p,q都被d整除,因此若k能被d(≥3)整除,则一开始1,2,3…,n都能被奇数d(≥3)整除,这是不可能的.故k只可能为$2^t$(t为正整数),且每次操作后,黑板上的最大数不减小,所以$k=2^t≥n$.
再证明对于各种情况,只有甲操作时将所有数变为k的最小操作数u不小于对于各种情况,只有乙操作时将所有2的幂去除的最小操作数的最大值v。
注意到$(2^a,2^a)→(0,2^{a+1})$以及$(0,2^c)→(2^c,2^c)$,所以,不难得到:如果黑板上写的数全是2的幂(包括零次幂),它们的指数都不超过$b_0$,并且其中至少有2个相等的小于$2^{b_0}$的数,那么经过有限步操作之后,必可使所有的数都变成$2^{b_0}$.
因此,我们只需对n≥3用归纳法来证明下列结论成立:由数组1,2…,n出发,经过有限步操作,可使所有n个数都变成2的方幂,其指数都不超过$b_0$,并且其中至少有2个相等的小于$2^{b_0}$的数,这里$b_0$为满足$2^{b_0}≥n$的任意正整数.
因为(1,3)→(2,4),故知n=3,4时结论成立.又因(3,5)→(2,8),(2,6)→(4,8),(1,3,5,7)→(6,2,8,8)→(8,4,8,8),故知n=5,6,7,8时结论也成立,设结论对3≤n≤m-1
(m≥9)的所有正整数n结论成立,再证明对n=m结论也成立,设$m=2^{b-1}+r$,其中b≥4,1≤r≤$2^{b_0-1}$.若r=$2^{b-1}$,即m=$2^b$,则对(1,2…,m-1)应用归纳假设,便知结论成立.
下设1<r≤$2^{b-1}$.这时我们依次对数对(p,q)=$(2^{b-1}-i,2{b-1}+i)$(i=1,2…,r)进行操作,于是得到的n个数可分为3类:
(1)1,2,3,...,$2^{b-1}-r-1$(黑板上未经操作过的数,若$r=2^{b-1}-1$时,这部分数不存在).
(2)2,4,6,…,2r(这些数由差|p-ql得到).
(3)$2^{b-1},2^b.….2^b$(这些数由和p+q及$2^{b-1}$得到).
若$2^{b-1}-r-1≤2$,则$2r≤2$,则$2^{b-1}≤r+3≤4$这与b≥4矛盾:故(1)(2)两组中至少有一组中的数的个数不少于3.若(1)(2)两组中数的个数都不小于3,由归纳假设知结论成立.若(1)(2)两组中数的个数不小于3,则对该组使用归纳假设,而其余两部分则已全是2的方面,从而结论也成立
....未完待续

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-7-25 22:29 编辑

回复 12# hbghlyj
(19)∵初始状态黑板上写着5,6,而形如$∑_ia_ix_i$的数都不能写,故此时能填的数据只能从1,2,3,4,7,8,9,13,14,19中选择
如果甲填2,乙只能选3,则甲必填1,此时甲输
如果甲填3,乙还有1,2,4,7共4个数可选,如果乙选2,甲必填1,此时甲输
如果甲填7,乙还有1,2,3,4,8,9共6个数可选,如果乙选4,甲必填1,此时甲输
如果甲填8,乙还有1,2,3,4,7,9共6个数可选,如果乙选4,甲必填1,此时甲输
如果甲填9,乙还有1,2,3,4,7,8共6个数可选,如果乙选7,甲必填1,此时甲输
如果甲填13,乙还有1,2,3,4,7,8,9共7个数可选,此时乙无论选任意数,都必填1,此时甲胜
故甲有必胜的策略.

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-7-25 23:02 编辑

回复 5# hbghlyj
(17)设a&b=a+b+ab=(a+1)(b+1)-1,则(a&b)&c=(((a+1)(b+1)-1)+1)(c+1)-1=(a+1)(b+1)(c+1)-1,所以&运算是满足结合律的,给定变数的一种排列,可以任意加括号不变其值.
1&$\frac12$&...&$\frac1{100}$=2$
\frac32$...$\frac{101}{100}$=101
(18)设a&b=ab+2a+2b+2=(a+2)(b+2)-2,则(a&b)&c=a&(b&c)=(a+2)(b+2)(c+2)-2
1&2&...&20=$\frac{22!}2$-2
$[\frac{22}5]$=4
$[\frac{22}2]$-1=10
$\frac{22!}2$末位有4个0,所以结果末三位为998

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回复 1# hbghlyj
(7)在模17的意义下,可假定只写整数1...10.按这个法则写到第10次,前1个,前2个...前9个数字组成的数都不是11倍数,且除以11余数互不相同.此时这个人无论如何都是输.所以甲有必胜策略(其实不算策略,只要遵守规则,怎样都赢)

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(20)甲乙轮流在黑板上写一个数位,每次可以接在黑板上的数字的首位或末位,使黑板上的数为完全平方数者胜.首位可为零.问:谁有必胜策略
(20)甲有必胜策略:X7和7X形式的两位数里无平方数.其他的数:0有01;1有16;2有25;3有36;4有49;5有25;6有36;8有81;9有09.可见甲第一步只能写7.下面证明:以后每次甲要做的,只是在已有的数的末尾添加2或者3,就可阻止乙写出完全平方数.
设已有的数为X.下面证明:100X+20到100X+39这20个连续整数里至多有1个完全平方数.假设里面有一个平方数100X+m=n²,因为X至少是两位数,所以100X+m>100*10=1000,所以n>32,n²-(n-1)²=2n-1>63,(n+1)²-n²=2n+1>65,所以最近的完全平方数至少也要相差63.
所以,下面两个事实至少成立一个:
(1)100X+20到100X+29都不是完全平方数
(2)100X+30到100X+39都不是完全平方数.
假设(2)成立,甲就在X的末尾添上2;假设(2)成立,甲就在末尾添上3.
下面分析乙的选择.如果乙选择在末尾添数,已经是无法得手了.如果乙选择在首位添数的话,因为平方数的末位不可能是2或3,也是无法得手的.
ps:上面的证明里有一个小小的遗漏,如果大家都一股劲地在首位添0,则X会一直保持在一位数7.不过这样的话,甲也是立于不败之地的.

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-7-26 17:18 编辑

回复 1# hbghlyj
(21)黑板上写有一个数2003,甲乙两人轮流将黑板上的数减去一个非零数位上的数,得到一个新数,并擦去原来的数.得到新数0者获胜.问:谁有必胜策略
(21)甲有必胜策略:总是减去新数的个位数,使甲取得的数个位为0.换句话说,甲除了第一步必先减3外,以后每轮跟随乙,乙减去X,甲就减去10-X.
甲必先减3,得2000,乙此时只能减2,得1998,则甲减8得1990,
乙此时无论减1到9哪个数,必使个位不为0.例如此轮乙得198X,甲得1980,乙得197X,甲得1970,
如此直到…乙得11X,甲得110,乙得109,甲得100,乙得99,甲得90,…乙得27,甲得20,乙得18,甲得10,乙得9,甲得0,
最终甲必胜.

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(22)黑板上写有0.01,0.02,0.03,……,1这100个数,每次任意地擦去其中的两个数a,b,并写上2ab-a-b+1,求最后剩下的数的所有可能
(22)100个数中,有一个是0.5
当a=0.5时,2ab-a-b+1=2×0.5×b-0.5-b+1=0.5
所以当擦掉的2个数有一个为0.5时,另一个不管是什么数,再重新写上的一定时0.5..
所以最后剩下的一定是0.5

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(23)现在黑板上写有n个0排成一行,甲乙轮流每次擦去0改为1,每次只能改一个或者相邻的两个,将最后一个改完者为胜.问:谁有必胜策略
(23)甲有必胜策略:若n为奇数,甲第一步改最中间的一个;若n为偶数,小明第一步改最中间的两个.这样总将剩余的0分为不连续的两部分.此后,无论小红在哪个位置划1个或2个0,甲总可在对称的位置,划同样多的0.最终是小明划完最后一个.
与第(8)题类似

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