[数论] 存在性证明4

hbghlyj

任给相邻两奇数的平方，介于它们之间是否存在四个不同的正整数成比例.
举例：1<2<3<4<6<9，2:3=4:6
9<10<12<20<24<25，10:12=20:24
解：设正整数a,b，2a:3b=4a:6b，令2a<3b，则最小数为2a，最大数为6b
$2{\text{a}} > {\left( {2{\text{n}} - 1} \right)^2},6{\text{b}} < {\left( {2{\text{n}} + 1} \right)^2} \Leftrightarrow {\text{a}} \geqslant \left\lceil {\frac{{{{\left( {2{\text{n}} - 1} \right)}^2}}}{2}} \right\rceil ,{\text{b}} \leqslant \left\lfloor {\frac{{{{\left( {2{\text{n}} + 1} \right)}^2}}}{6}} \right\rfloor $
问题转化为对于任何正整数n，下面的不等式恒成立$2\left\lceil {\frac{{{{\left( {2{\text{n}} - 1} \right)}^2}}}{2}} \right\rceil  \leqslant 3\left\lfloor {\frac{{{{\left( {2{\text{n}} + 1} \right)}^2}}}{6}} \right\rfloor $
然而上面的不等式只对n=1,2成立。第一次尝试失败。