本帖最后由 realnumber 于 2019-10-22 09:30 编辑
记$S(m,n)=1^m+2^m+3^m+....+n^m$,n,m都是正整数.
可以用数学归纳法证明$n\mid S(m,n)$
m=2,3,4时有$n\mid S(m,n)$成立
假设m<k+1时,都成立
当m=k+1时 (以下都是:左边第2个二项式定理展开,抵消最高次后变右边)
\[ n^{k+2}-(n-1)^{k+2}=C_{k+2}^1n^{k+1}-C_{k+2}^2n^k+...-(-1)^{k+1}C_{k+2}^{k+1}n-(-1)^{k+2}\]
\[ (n-1)^{k+2}-(n-1-1)^{k+2}=C_{k+2}^1(n-1)^{k+1}-C_{k+2}^2(n-1)^k+...\]
\[......\]
\[1^{k+2}-(1-1)^{k+2}=C_{k+2}^11^{k+1}-C_{k+2}^21^k+...\]
以上n个等式相加得到
\[n^{k+2}=C_{k+2}^1S(k+1,n)-C_{k+2}^2S(k,n)+C_{k+2}^3S(k-1,n)-...-(-1)^{k+1}C_{k+2}^{k+1}S(1,n)-(-1)^{k+2}n\]
由归纳假设得到$n\mid C_{k+2}^1S(k+1,n)$----(*)
即$n\mid S(k+1,n)$
由1,2可得即$n\mid S(m,n)$.
即$n\mid 1^m+2^m+...+(n-1)^m$,n用n+1替换得到
$(n+1)\mid 1^m+2^m+...+n^m$,又(n,n+1)=1
得到$n(n+1)\mid 1^m+2^m+...+n^m$,即S(1,n)│S(m,n)
(*)有漏洞吗?比如k+2=tn时?又觉得可以了,k,n是不同的字母,---??? |