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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 两两互素的反例
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hbghlyj
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发表于 2019-7-24 17:03
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[数论]
两两互素的反例
本帖最后由 hbghlyj 于 2019-7-24 17:08 编辑
整数$a_i$(i=1,2…n!)每n+1个构成的数组都互素,那么整数$a_i$是否两两互素
n=3时反例如下.取两两互素整数$p_1,p_2,p_3,p_4$
那么,$p_1p_2,p_1p_3,p_1p_4,p_2p_3,p_2p_4,p_3p_4$六个数每4个构成的数组都互素,然而其中有15-3=12对整数不互素
n=4时???
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发表于 2019-7-25 08:24
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就按你的来,n=4,p1,p2,p3,p4,p5
p1p2,p1p3,...10个中任意取5个,最大公因素是1.
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hbghlyj
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发表于 2019-7-25 11:45
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realnumber
您看错题了。题目是n!个整数。所以n=4应该是24个整数。
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realnumber
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发表于 2019-7-25 11:51
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3#
hbghlyj
哦,是看错了,不过可以补完整,再添上不同与p1,p2,p3,p4,p5,的一些素数,一直到24个.
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hbghlyj
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发表于 2019-7-25 14:54
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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-7-25 15:11 编辑
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4#
realnumber
既然这个构造可以推广到任何不小于3的正整数n,我们继续挖掘,修改一下条件:
设正整数2<n<m,整数$a_i$(i=1,2…m)每n个构成的数组都不互素,那么整数$a_i$每n+1个能否都互素
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realnumber
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发表于 2019-7-26 08:35
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还是沿用上面办法
初始$a_i$=1,i=1,2,3,...,m
设正整数2<n<m,每n个构成的数组都乘以一个素数$p_t,t=1,2,3,..C_m^n$,那么整数a i ai每n+1个都互素
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