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[组合] 三道集合题

本帖最后由 hbghlyj 于 2019-9-10 23:24 编辑

(1)设A为n元集,${\text{A}} = \bigcup\limits_{i = 1}^m {{A_i}} $ ,对S={1,2…m}的任何排列$(r_1,r_2,…,r_m )$,对任意的i∈S,令${\text{B}} = {{\text{A}}_{{{\text{r}}_1}}} \cap {{\text{A}}_{{r_2}}} \cap  \ldots  \cap {{\text{A}}_{{{\text{r}}_{\text{s}}}}} \cap \overline {{{\text{A}}_{{r_{s + 1}}}}}  \cap  \ldots  \cap \overline {{{\text{A}}_{{r_m}}}} $都有|B|=b,求m的最小值$m_0$.
(2)设$\Delta{}$是一个有限的集族,满足若$F\in{}\Delta{}$且$G\subseteq{}F$,则$G\in{}\Delta{}$.已知对某个给定的正整数k,且对每个满足$\vert{}$F$\vert{}$$\leq{}$k的F$\in{}\Delta{}$
(包括F=$\emptyset$)有$\sum_{G\in{}\Delta{},F\subseteq{}G}{\left(-1\right)}^{\left\vert{}G\right\vert{}}=0.证明:\left.2^{k+1}\right\vert{}\left\vert{}\Delta{}\right\vert{}$
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(3)集合A,B,C,已知|A|,|B|,|C|,|AB|,|BC|,求|A∪B∪C|的最值
总觉得哪里有问题,待验证:
最大值.|ABC|≥max(0,|AB|+|BC|-|B|),|CA|≥0,
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|CA|+|ABC|≤|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|+max(0,|AB|+|BC|-|B|)
最小值.|ABC|≤min(|AB|,|BC|),
|CA|≤min(|A|-|AB|+|ABC|,|B|-|AB|-|BC|+|ABC|,|C|-|BC|-|CA|+|ABC|)
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|CA|+|ABC|
≥|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-min(|A|-|AB|+min(|AB|,|BC|),|B|-|AB|-|BC|+min(|AB|,|BC|),|C|-|BC|-|CA|+min(|AB|,|BC|))+min(|AB|,|BC|)

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(3)推广
集合A,B,C,D,已知|A|,|B|,|C|,|D|,|AB|,|BC|,|CD|,|ABC|,|BCD|,求|A∪B∪C∪D|的最值
最小值|ABCD|≤min(|ABC|,|BCD|),
|ABD|+|ACD|≤min(|AB|-|ABC|+|ABCD|,|CD|-|BCD|+|ABCD|),
|ABD|,|ACD|≤min(|BC|-|ABC|-|BCD|+|ABCD|,|ABD|+|ACD|),
|AC|+|AD|≤|A|-|AB|+|ABC|+|ABD|+|ACD|-|ABCD|,①
|BD|≤|B|-|AB|-|BC|+|ABC|+|BCD|+|ABD|-|ABCD|,②
|AC|≤|C|-|BC|-|CD|+|ABC|+|BCD|+|ACD|-|ABCD|,③
|AD|+|BD|≤|D|-|CD|+|BCD|+|ABD|+|ACD|-|ABCD|,④
|A∪B∪C∪D|=|A|+|B|+|C|+|D|-|AB|-|BC|-|CD|-|AC|-|AD|-|BD|+|ABC|+|BCD|+|ABD|
+|ACD|-|ABCD|≥...未完待续
最大的问题是①②③④能不能直接相加除以2得到|AC|+|AD|+|BD|?

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