无穷级数

本帖最后由 Shiki 于 2019-7-20 21:58 编辑

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac {k}{k^4+4}=?$$
怎么拿这个考高中生呐。。。除了收敛什么都看不出来啊。。。

编辑：貌似可以裂项。。？

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发表于 2019-7-20 22:09 | 只看该作者

裂项就是由 `k^4+4=(k^2+2)^2-4k^2=\bigl((k-1)^2+1\bigr)\bigl((k+1)^2+1\bigr)` 得
\[\frac k{k^4+4}=\frac14\left(\frac1{(k-1)^2+1}-\frac1{(k+1)^2+1}\right)\]

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发表于 2019-7-20 22:11 | 只看该作者