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[数论] 香烟问题

本帖最后由 APPSYZY 于 2019-7-20 22:07 编辑

假设有$n$根香烟,每吸$1$根香烟会产生$1$个烟头,每$k(k>1)$个烟头又可以卷成一根新的香烟,问一共可得几根香烟(包括原来的$n$根在内)?
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O(∩_∩)O哈!我记得这类题以往是用蜡烛来表达的,看来因为现在的小朋友未必知道蜡烛是啥,就改成香烟了

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回复 2# kuing

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本帖最后由 战巡 于 2019-7-20 22:47 编辑

回复 1# APPSYZY


我咋记得以前一般是买饮料,k个空瓶换一瓶新的...

设$n$表示为$k$进制有p位,各位为$a_0,a_1,...,a_{p-1}$,$0\le a_i<k$,也就是
\[n=a_{p-1}k^{p-1}+a_{p-2}k^{p-2}+...+a_1k+a_0\]
那么第一轮下来,可再生出的数量为
\[a_{p-1}k^{p-2}+a_{p-2}k^{p-3}+...+a_1\]
,同时还剩下$a_0$个
第二轮下来,可再生的数量为
\[a_{p-1}k^{p-3}+a_{p-2}k^{p-4}+...+a_2\]
还剩下$a_0+a_1$个
以此类推,最后总数会是
\[a_{p-1}\sum_{i=1}^pk^{p-i}+a_{p-2}\sum_{i=2}^pk^{p-i}+...+a_1(k+1)\]
但最后剩下$a_0+a_1+...+a_{p-1}$个,回头还要对这个继续上面的处理,令$n_1=a_0+a_1+...+a_{p-1}$,再走一遍上面的程序,直到最后剩余的数量小于$k$

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回复 4# 战巡
网上找到的博客里的“一般性结论”,试了三组数,都是对的,不知道咋来的
http://blog.sina.com.cn/s/blog_804164070101prua.html

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本帖最后由 realnumber 于 2019-7-21 07:23 编辑

也记得是饮料,k个空瓶换一瓶新的
觉得从方程角度理解就可以解决了
1瓶饮料=1饮料+1空瓶,简写为x=y+z
kz=x,问nx=ty(特别过程中空瓶不够 ,可以借1个空瓶,归还1个空瓶)
求t
t=[kn/(k-1)]

--没注意到条件,不能借

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答案应该是$n+\lfloor(n-1)/(k-1)\rfloor$

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